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Quadratisches Reziprozitätsgesetz

mathematischer Satz

Das quadratische Reziprozitätsgesetz gibt, zusammen mit den beiden unten genannten Ergänzungssätzen, ein Verfahren an, um das Legendre-Symbol zu berechnen und damit zu entscheiden, ob eine Zahl quadratischer Rest oder Nichtrest einer (anderen) Zahl ist. Die Entdeckung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes durch Euler und der Beweis durch Gauß (Disquisitiones Arithmeticae 1801, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen Zahlentheorie. Obwohl es elementare Beweise des Reziprozitätsgesetzes gibt, liegt dessen Wesen relativ tief, nämlich in der Primfaktorzerlegung in den Kreisteilungskörpern mit einer primitiven Einheitswurzel . Gauß selbst hat mehrere methodisch verschiedene Beweise vorgelegt.

Das quadratische Reziprozitätsgesetz macht Aussagen über die Lösbarkeit quadratischer Gleichungen in der modularen Arithmetik, die Frage nach der Lösbarkeit von Gleichungen höheren Grades führt auf die höheren Reziprozitätsgesetze, was eine der treibenden Kräfte der algebraischen Zahlentheorie seit Gauß war. Den Fall dritten Grades (kubisches Reziprozitätsgesetz) behandelte Gotthold Eisenstein, den Fall vierten Grades (biquadratisches Reziprozitätsgesetz) Gauß.

Inhaltsverzeichnis

AussageBearbeiten

Im Folgenden bezeichnet   mit einer ganzen Zahl   und einer Primzahl   das Legendre-Symbol.

Das quadratische Reziprozitätsgesetz besagt, dass für zwei verschiedene ungerade Primzahlen   und   gilt:

 

1. Ergänzungssatz: Für jede ungerade Primzahl   gilt:

 

2. Ergänzungssatz: Für jede ungerade Primzahl   gilt:

 

RechenregelBearbeiten

Sind   und   zwei verschiedene ungerade Primzahlen, so gilt:

 

Aus   folgt nämlich  .

BeispieleBearbeiten

 

lösbar ist. Dazu berechnet man

  (das Legendre-Symbol ist multiplikativ im oberen Argument).

Der erste Faktor lässt sich mit Hilfe des zweiten Ergänzungssatzes zu   bestimmen. Um den zweiten Faktor zu berechnen, wendet man das Reziprozitätsgesetz an:

 

Hier wurde beim zweiten Gleichheitszeichen   verwendet, analog dazu   beim vorletzten.

Setzt man nun beide Faktoren zusammen, so ergibt sich

 

und damit weiß man, dass die obige Kongruenz eine Lösung besitzt. Die Lösung ist  .

  • Es ist zu prüfen, ob die Kongruenz
 

lösbar ist. Dazu berechnet man wieder

 

und kann wie oben die beiden Faktoren mit dem Reziprozitätsgesetz weiter vereinfachen:

  (im letzten Schritt wurde   mit   verwendet)

und

 
 

Setzt man alles zusammen, so ergibt sich

 

und damit die Erkenntnis, dass die obige Kongruenz keine Lösung besitzt.

Effiziente Berechnung des Legendre-SymbolsBearbeiten

Der hier aufgezeigte Berechnungsweg besitzt den Nachteil, die Primfaktorzerlegung des Zählers des Legendre-Symbols bestimmen zu müssen. Es gibt ein effizienteres Verfahren, das ähnlich wie der Euklidische Algorithmus abläuft und ohne diese Faktorisierung auskommt. Dabei wird das Jacobi-Symbol, eine Verallgemeinerung des Legendre-Symbols, benutzt, für das das quadratische Reziprozitätsgesetz immer noch gültig ist.

Siehe auchBearbeiten

  • Lemma von Zolotareff, eine Beweisvariante für das quadratische Reziprozitätsgesetz mit Hilfe von Permutationen

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Wikiversity: Ein Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch