Auslöschung (numerische Mathematik)

Verlust an Genauigkeit bei der Subtraktion fast gleich großer Gleitkommazahlen

Unter Auslöschung (engl. cancellation) versteht man in der Numerik den Verlust an Genauigkeit bei der Subtraktion fast gleich großer Gleitkommazahlen.[1]

BeispieleBearbeiten

ZahlenbeispielBearbeiten

Wir subtrahieren die Zahlen   und   voneinander und erhalten als Ergebnis

 .

Stammen nun   und   bereits aus vorherigen Berechnungen, so werden die niedrigwertigen Stellen durch Rundungsfehler beeinflusst sein. Stimmen nun aber die höherwertigen Stellen von   und   überein, so löschen sich die gültigen Stellen zu   aus, und die Differenz ergibt sich ausschließlich aus Rundungsfehlern.

Angenommen, bei   und   seien die ersten drei Ziffern korrekt, und alle niedrigwertigeren Ziffern durch Rundungsfehler verfälscht. Verkürzen wir die Zahlen auf ihre korrekten Ziffern, so ergibt sich

 ,

während sich im Ergebnis der ersten, vermeintlich genauen Berechnung   keine einzige korrekte Ziffer mehr findet.

Angenommen, in   und   seien die ersten vier Ziffern noch korrekt, so ergibt sich

 ,

wohingegen wir uns oben mit   einen absoluten Fehler von   und damit einen relativen Fehler von ungefähr 10 % eingehandelt haben.

Beispiel: Algorithmus des Archimedes zur KreiszahlberechnungBearbeiten

 
Berechnung von pi nach Archimedes

Archimedes von Syrakus bewies, dass sich der Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser genauso verhält, wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Er nannte dieses (heute als Kreiszahl bezeichnete) Verhältnis noch nicht π, gab aber eine Anleitung, wie man sich mit Hilfe von ein- und umschriebenen Vielecken dem Verhältnis bis zu einer beliebig hohen Genauigkeit nähern kann, vermutlich eines der ältesten numerischen Verfahren der Geschichte. Und er führte die Berechnung bis zum 96-Eck mit dem folgenden Resultat durch:

 

Wie man dem Zahlenbeispiel entnehmen kann, hatte Archimedes keine Chance, beim 96-Eck die Auslöschung überhaupt nur wahrzunehmen.

In heutiger Sprache beginnt man mit direkt berechenbaren Seitenlängen   von in einem Einheitskreis ( ) einbeschriebenen Vielecken, z. B. dem Zweieck  , dem Dreieck  , dem Viereck   oder dem Sechseck  .

Dann ist für Vielecke mit doppelter Eckenzahl deren Seitenlänge   mit der Hilfsstrecke   und zweimaliger Anwendung des Satzes von Pythagoras (  und  ) leicht herleitbar:

 

Mit den vier Grundrechenarten und dem Wurzelziehen kann man also beginnend mit dem Zweieck die Seitenlänge und den Umfang eines einbeschriebenen Vielecks und damit indirekt eine Näherung für   berechnen. In der Praxis ist das Ergebnis jedoch enttäuschend. Die folgende Tabelle zeigt beginnend mit n=2 den Abstand   der Seitenmitte S zum Kreisrand, die Seitenlängen   des eingeschriebenen und   des umschriebenen n-Ecks und deren Flächen   und  , die beim Einheitskreis gegen   konvergieren sollten. Die Rechnung wurde in C mit doppelter Genauigkeit nach IEEE 754 und somit ca. 15 Dezimalstellen durchgeführt. Die Zahlenwerte sind aber auch mit jedem Taschenrechner, der Quadratwurzeln beherrscht, nachvollziehbar:

                                                                 
2          1.000e+00  2.00e+00       Inf  0.00000000000000               Inf
4          2.929e-01  1.41e+00  2.00e+00  2.00000000000000  4.00000000000000
8          7.612e-02  7.65e-01  8.28e-01  2.82842712474619  3.31370849898476
16         1.921e-02  3.90e-01  3.98e-01  3.06146745892072  3.18259787807453
32         4.815e-03  1.96e-01  1.97e-01  3.12144515225805  3.15172490742926
64         1.205e-03  9.81e-02  9.83e-02  3.13654849054593  3.14411838524589
128        3.012e-04  4.91e-02  4.91e-02  3.14033115695474  3.14222362994244
256        7.530e-05  2.45e-02  2.45e-02  3.14127725093262  3.14175036916881
512        1.882e-05  1.23e-02  1.23e-02  3.14151380114509  3.14163208070397
1024       4.706e-06  6.14e-03  6.14e-03  3.14157294036989  3.14160251025961
2048       1.177e-06  3.07e-03  3.07e-03  3.14158772527060  3.14159511774302
4096       2.941e-07  1.53e-03  1.53e-03  3.14159142155216  3.14159326967027
8192       7.353e-08  7.67e-04  7.67e-04  3.14159234553025  3.14159280755978
1.638e+04  1.838e-08  3.83e-04  3.83e-04  3.14159257570956  3.14159269121694
3.277e+04  4.596e-09  1.92e-04  1.92e-04  3.14159264036917  3.14159266924601
6.554e+04  1.149e-09  9.59e-05  9.59e-05  3.14159264171161  3.14159264893082
1.311e+05  2.872e-10  4.79e-05  4.79e-05  3.14159260647332  3.14159260827812
2.621e+05  7.181e-11  2.40e-05  2.40e-05  3.14159291071407  3.14159291116527
5.243e+05  1.795e-11  1.20e-05  1.20e-05  3.14159169662728  3.14159169674009
1.049e+06  4.488e-12  5.99e-06  5.99e-06  3.14159655369072  3.14159655371892
2.097e+06  1.122e-12  3.00e-06  3.00e-06  3.14159655370129  3.14159655370834
4.194e+06  2.804e-13  1.50e-06  1.50e-06  3.14151884046467  3.14151884046643
8.389e+06  7.017e-14  7.49e-07  7.49e-07  3.14120796828205  3.14120796828249
1.678e+07  1.754e-14  3.75e-07  3.75e-07  3.14245127249408  3.14245127249419
3.355e+07  4.441e-15  1.87e-07  1.87e-07  3.14245127249412  3.14245127249415
6.711e+07  1.110e-15  9.42e-08  9.42e-08  3.16227766016838  3.16227766016838
1.342e+08  2.220e-16  4.71e-08  4.71e-08  3.16227766016838  3.16227766016838
2.684e+08  0.000e+00  2.11e-08  2.11e-08  2.82842712474619  2.82842712474619
5.369e+08  0.000e+00  0.00e+00  0.00e+00  0.00000000000000  0.00000000000000

Man erkennt deutlich am Anfang die Konvergenz gegen  . Nach Erreichen etwa der halben Stellenzahl beim 32768-Eck macht sich jedoch die Auslöschung bei der Subtraktion der fast gleich großen Zahlen 2 und   bemerkbar. Das Ergebnis wird jetzt wieder ungenauer und am Ende falsch (2-2.000...000xxx = 0).

In vielen Fällen, so auch hier, kann man die Auslöschung vermeiden, einfach indem man die betroffenen Subtraktionen vermeidet. Hier gelingt das mit einer Umformung der Formel in eine äquivalente Form ohne Subtraktion unter Anwendung von

 

mit  

Es ergibt sich:

 

Natürlich ist es ein glücklicher Zufall, dass sich im Zähler die Subtraktion „weghebt“. Jetzt verläuft die Rechnung wie erwünscht:

                                                                 
2.000e+00  1.000e+00  2.00e+00       Inf  0.00000000000000               Inf
4.000e+00  2.929e-01  1.41e+00  2.00e+00  2.00000000000000  4.00000000000000
8.000e+00  7.612e-02  7.65e-01  8.28e-01  2.82842712474619  3.31370849898476
1.600e+01  1.921e-02  3.90e-01  3.98e-01  3.06146745892072  3.18259787807453
3.200e+01  4.815e-03  1.96e-01  1.97e-01  3.12144515225805  3.15172490742926
6.400e+01  1.205e-03  9.81e-02  9.83e-02  3.13654849054594  3.14411838524590
1.280e+02  3.012e-04  4.91e-02  4.91e-02  3.14033115695475  3.14222362994246
2.560e+02  7.530e-05  2.45e-02  2.45e-02  3.14127725093277  3.14175036916897
5.120e+02  1.882e-05  1.23e-02  1.23e-02  3.14151380114430  3.14163208070318
1.024e+03  4.706e-06  6.14e-03  6.14e-03  3.14157294036709  3.14160251025681
2.048e+03  1.177e-06  3.07e-03  3.07e-03  3.14158772527716  3.14159511774959
4.096e+03  2.941e-07  1.53e-03  1.53e-03  3.14159142151120  3.14159326962931
8.192e+03  7.353e-08  7.67e-04  7.67e-04  3.14159234557012  3.14159280759964
1.638e+04  1.838e-08  3.83e-04  3.83e-04  3.14159257658487  3.14159269209225
3.277e+04  4.596e-09  1.92e-04  1.92e-04  3.14159263433856  3.14159266321541
6.554e+04  1.149e-09  9.59e-05  9.59e-05  3.14159264877699  3.14159265599620
1.311e+05  2.872e-10  4.79e-05  4.79e-05  3.14159265238659  3.14159265419140
2.621e+05  7.181e-11  2.40e-05  2.40e-05  3.14159265328899  3.14159265374019
5.243e+05  1.795e-11  1.20e-05  1.20e-05  3.14159265351459  3.14159265362739
1.049e+06  4.488e-12  5.99e-06  5.99e-06  3.14159265357099  3.14159265359919
2.097e+06  1.122e-12  3.00e-06  3.00e-06  3.14159265358509  3.14159265359214
4.194e+06  2.804e-13  1.50e-06  1.50e-06  3.14159265358862  3.14159265359038
8.389e+06  7.017e-14  7.49e-07  7.49e-07  3.14159265358950  3.14159265358994
1.678e+07  1.754e-14  3.75e-07  3.75e-07  3.14159265358972  3.14159265358983
3.355e+07  4.441e-15  1.87e-07  1.87e-07  3.14159265358978  3.14159265358980
6.711e+07  1.110e-15  9.36e-08  9.36e-08  3.14159265358979  3.14159265358980
1.342e+08  2.220e-16  4.68e-08  4.68e-08  3.14159265358979  3.14159265358979
2.684e+08  0.000e+00  2.34e-08  2.34e-08  3.14159265358979  3.14159265358979

Schon bei dem 268435456-Eck erreicht man die volle Genauigkeit von knapp 16 Dezimalstellen. Das Abbruchsignal gibt die 0 in der zweiten Spalte.

FaustregelBearbeiten

Subtrahiert man zwei  -stellige, fast gleich große Zahlen, die in den ersten   Stellen übereinstimmen, so gehen im Ergebnis von den eigentlich möglichen   Stellen   verloren. Es sind also nur noch   Stellen ungleich Null. Die Information, dass die ersten   Stellen sich zu Null aufgehoben haben, geht dabei verloren. Die Genauigkeit des Ergebnisses vermindert sich um diese   Stellen.

Unterscheiden sich die Zahlen in den letzten   Stellen lediglich um Rundungsfehler, dann hat das Ergebnis keine Aussagekraft. Es sollte als solches nicht in weitere Berechnungen einfließen.

DifferentialrechnungBearbeiten

Bei der numerischen Berechnung von Ableitungen durch Differenzenquotienten wie zum Beispiel

 

tritt bei zu kleinem h Auslöschung auf, da die Funktionswerte dann nahezu gleich sind.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wolfgang Dahmen, Arnold Reusken: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76492-2, S. 41 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).