Äquivalenzumformung

Umformung einer Gleichung, die den Wahrheitswert unverändert lässt

In der Mathematik bezeichnet Äquivalenzumformung (lateinisch aequus = gleich; valere = wert sein) eine Umformung einer Gleichung bzw. Ungleichung, die den Wahrheitswert unverändert lässt (logische Äquivalenz). Die umgeformte logische Aussage ist also für dieselbe Variablenbelegung wahr wie die ursprüngliche Aussage. Äquivalenzumformungen sind die wichtigste Methode zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen.

Damit eine Umformung eine Äquivalenzumformung ist, muss gelten:

  • Es gibt eine Umkehrung der Umformung (inverse Operation), durch die die Umformung rückgängig gemacht werden kann.
  • Die Lösungsmenge der Gleichung bzw. Ungleichung bleibt unverändert.

Äquivalenzumformungen werden üblicherweise im Raum der reellen Zahlen durchgeführt, da dort der Zahlenraum weder nach unten noch nach oben begrenzt ist.

Bei einer Äquivalenzumformung werden stets beide Seiten der Gleichung oder Ungleichung umgeformt. Wird nur eine der Seiten umgeformt, handelt es sich stattdessen um eine Termumformung.

Äquivalenzumformungen von GleichungenBearbeiten

Für Gleichungen sind die folgenden Umformungen zulässig:

  • Addition eines Terms
  • Subtraktion eines Terms
  • Multiplikation mit einem Term ungleich 0
  • Division durch einen Term ungleich 0
  • Anwendung einer bijektiven Funktion

Addition und SubtraktionBearbeiten

Eine Äquivalenzumformung ist beispielsweise die Addition oder Subtraktion eines Terms auf beiden Seiten. Subtrahiert man von der Gleichung

 

die Zahl 5 (indem man die Zahl auf beiden Seiten subtrahiert), erhält man die Gleichung

 

und durch Vereinfachung der beiden Seiten schließlich

 .

Multiplikation und DivisionBearbeiten

 
Multiplikation mit 4 bzw. Division durch 4

Die Multiplikation oder Division eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung, solange dieser ungleich 0 ist, ist ebenfalls eine Äquivalenzumformung.

Zu beachten ist, dass die Multiplikation mit Null oder Division durch Null oft versteckt auftritt; so ist beispielsweise die Multiplikation mit   keine Äquivalenzumformung, da dieser Multiplikator im Falle   eben Null sein kann. Allerdings kann man durch Fallunterscheidung sicherstellen, dass eine Multiplikation oder Division mit Null nicht stattfindet: Fälle, in denen ein Multiplikator oder Divisor Null ist, sind gesondert zu untersuchen; ansonsten sind die umgeformten Aussagen nur unter einer entsprechenden Zusatzvoraussetzung (also nicht allgemein) zueinander äquivalent.

Die Division durch 0 in einer angeblichen Äquivalenzumformung ist ein bekanntes Beispiel für einen mathematischen Trugschluss.

Anwendung einer bijektiven FunktionBearbeiten

Das Umformen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division lässt sich verallgemeinern, indem man zum Beispiel die Operation   als Funktion   auffasst.

Eine solche Funktion muss sowohl in Hin- als auch in der Rückrichtung eindeutig sein. Solche Funktionen heißen bijektiv.

Gegenbeispiel: QuadrierenBearbeiten

Im Raum der reellen Zahlen ist das Quadrieren keine Äquivalenzumformung, da das Quadrieren keine eindeutige Umkehrfunktion hat. So hat beispielsweise die Gleichung   eine reelle Lösung, die quadrierte Gleichung   hingegen zwei reelle Lösungen (nämlich   und  ).

Schränkt man den erlaubten Zahlenbereich für   jedoch ein, kann man auch das Quadrieren zu einer Äquivalenzumformung machen.

Setzt man beispielsweise   voraus, so sind die Gleichungen   und   gleichwertig.

Setzt man hingegen   voraus, so sind die Gleichungen   und   gleichwertig.

Äquivalenzumformungen von UngleichungenBearbeiten

Bei Ungleichungen ist das Inversionsgesetz zu beachten, nach dem bei Multiplikation mit bzw. Division durch eine negative Zahl die Ordnungsrelation die Richtung ändert. Multipliziert man beispielsweise die Ungleichung

 

mit −5, so erhält man die äquivalente Ungleichung

 .

Division durch −5 liefert wieder die ursprüngliche Ungleichung.

Generell ist die Anwendung einer streng monotonen Funktion auf beide Seiten einer Ungleichung eine Äquivalenzumformung; bei streng monoton steigenden Funktionen bleibt die Richtung der Ordnungsrelation erhalten; bei streng monoton fallenden Funktionen ändert die Ordnungsrelation die Richtung. Obiges Beispiel der Multiplikation mit −5 auf beiden Seiten entspricht der Anwendung der streng monoton fallenden Funktion  .

Multipliziert man eine Ungleichung mit einer Zahl, deren Vorzeichen nicht bekannt ist, so ist eine Fallunterscheidung erforderlich. So möchte man beispielsweise die Ungleichung

 

gerne mit   multiplizieren, aber es ist nicht bekannt, ob   oder   gilt (der Fall   ist auszuschließen, da dann die linke Seite der Ungleichung nicht einmal definiert wäre). Falls   gilt, ergibt sich also  , im Fall   dagegen  . Somit ist die gegebene Ungleichung insgesamt äquivalent zu

 

dies wiederum zu

 

insgesamt also

 

Anstatt die logischen Kombinationen wie hier im Hinblick auf die Äquivalenz gemeinsam abzuhandeln, ist es üblich, die Fälle nacheinander und getrennt zu bearbeiten und am Ende zusammenzufassen.

NotationBearbeiten

Äquivalenzumformungen werden meist mit einem Äquivalenzpfeil ⇔ (Unicode U+21D4) bezeichnet. Angewendet auf obiges Beispiel also:

 

Darstellung der Umformungsoperation: Insbesondere in der Schulmathematik wird bei Äquivalenzumformungen oft mit einem senkrechten Strich hinter der (Un-)Gleichung dargestellt, welche Operation als nächste auf beide Seiten der (Un-)Gleichung angewendet werden soll. Die obigen Beispiele schreiben sich dann in der Form

 
 

bzw.

 
 .

WeblinksBearbeiten