Halley-Verfahren

Das Halley-Verfahren (auch Verfahren der berührenden Hyperbeln) ist, ähnlich wie das Newton-Verfahren, eine Methode der numerischen Mathematik zur Bestimmung von Nullstellen reeller Funktionen . Im Gegensatz zum Newton-Verfahren hat es die Konvergenzordnung 3, benötigt dazu aber zusätzlich zur ersten auch die zweite Ableitung. Es ist nach dem Astronomen Edmond Halley benannt, der auch das Wiederkehrgesetz des nach ihm benannten Halleyschen Kometen bestimmte. Ein vergleichbares Verfahren ist das Euler-Tschebyschow-Verfahren.

Beschreibung des VerfahrensBearbeiten

Sei   eine reelle Funktion mit stetiger zweiter Ableitung,   und sei a eine einfache Nullstelle von  , d. h.  . Dann konvergiert für Startpunkte   nahe   die durch die Iteration

 , k = 0, 1, 2, …

erzeugte Folge sukzessiver Näherungen   mit kubischer Konvergenzordnung gegen  .

Varianten dieses Verfahrens sind das ursprünglich von Halley verwendete irrationale bzw. parabolische Halley-Verfahren mit der Iterationsvorschrift

 ,

und in Verallgemeinerung dessen das Laguerre-Verfahren

 .

Für Polynome wird dabei   gleich dem Grad gesetzt. Da der Term unter der Wurzel negativ werden kann, können diese beiden Varianten auch für rein reelle Polynome und reelle Startwerte zu komplexen Nullstellen konvergieren. Bei der in nachfolgenden Iterationen notwendigen Bestimmung der Quadratwurzel aus komplexen Zahlen ist hier immer die Lösung mit positivem Realteil zu wählen, so dass der Nenner den größtmöglichen Betrag hat.

MotivationBearbeiten

Sei   eine reelle Funktion mit stetiger zweiter Ableitung,   und sei   eine einfache Nullstelle von  , d. h.  . Dann wird der Funktionsverlauf von   in der Nähe von   in zweiter Ordnung „gerade gebogen“, indem statt   die Funktion   betrachtet wird. Diese Konstruktion ist von der Nullstelle unabhängig. Nun wird das Newton-Verfahren auf   angewandt. Es ist

 

und daher

 

Dieselbe Vorschrift ergibt sich aus dem allgemeineren Householder-Verfahren in der zweiten Ordnung

 

BeispielBearbeiten

Die Iteration für die Quadratwurzel von z. B. a=5 ergibt mit   die Iterationsvorschrift

 

und damit die Berechnungstabelle

     
0 3,00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 4,00000000000
1 2,25000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0,0625000000000
2 2,23606811145510835913312693498452012383900928792569659442724 5,99066414899E-7
3 2,23606797749978969640929385361588622700967141237081284965284 5,37483143712E-22
4 2,23606797749978969640917366873127623544061835961152572427090 0,000000000000

Es ergibt sich eine Folge von 0, 1, 5, 21, >60 gültigen Stellen, d. h. eine Verdreifachung in jedem Schritt. Das Newtonverfahren hat die Verfahrensvorschrift:

 

Im direkten Vergleich zeigt das Halley-Verfahren die schnellere Konvergenz. Es benötigt jedoch mehr Rechenoperationen pro Schritt.

Kubische KonvergenzBearbeiten

Sei f dreimal stetig differenzierbar. Da a als Nullstelle von f vorausgesetzt wurde, gilt näherungsweise  . Genauer gilt auf einem Intervall I, welches a enthält, nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung die zweiseitige Abschätzung

 ,

d. h. sowohl   als auch  . Es reicht also, das Verhältnis der Funktionswerte von einem Iterationsschritt zum nächsten zu bestimmen.

Irrationales oder parabolisches Halley-VerfahrenBearbeiten

Die Taylorentwicklung zweiten Grades von f ist

 .

Dies ergibt zunächst eine Näherung durch eine Parabel, die den Graphen von   im Punkt   von zweiter Ordnung berührt. Ist   klein genug, so hat diese Parabel eine Nullstelle, die deutlich nahe an   liegt, nämlich bei

 

Die entsprechende Iteration ist

 .

Da der Nenner von   in der Nähe einer Nullstelle von   von Null verschieden ist, gilt  . Durch diese Konstruktion von   verschwinden die ersten drei Glieder der Taylor-Entwicklung, daher gilt  .

Diese Form des Verfahrens wurde ursprünglich von E. Halley vorgeschlagen. Entwickelt man die Wurzel nach  , so erhält man das, heute übliche, rationale oder hyperbolische Halley-Verfahren.

Hyperbolisches Halley-VerfahrenBearbeiten

Benutzt man in der Taylor-Entwicklung von   die Identität  , so kann man diese in einen Bruch von in   linearen Funktionen verwandeln, d. h.   wird in der Nähe von   durch eine hyperbolische Funktion angenähert, und von dieser nachfolgend die Nullstelle bestimmt:

 

Die Funktion   wird also durch eine Hyperbel approximiert, die   in   zu ebenfalls zweiter Ordnung berührt. Der Zähler der Hyperbelfunktion verschwindet für  , woraus sich die Halley-Iteration (s. o.) ergibt. Wieder gilt   und damit

 

Daraus folgt dann für die Halley-Iteration

 

d. h. die kubische Konvergenz.

Mehrdimensionale ErweiterungBearbeiten

Eine Erweiterung des Verfahrens auf Funktionen mehrerer Veränderlicher   ist möglich. Es kann der gleiche binomische Trick zur Herstellung einer Hyperbelfunktion verwendet werden. Dabei ist aber zu beachten,

  1. dass   eine Matrix ist, die als invertierbar vorausgesetzt wird,
  2. dass   ein Tensor dritter Stufe ist, genauer eine vektorwertige symmetrische Bilinearform, und
  3. dass die unvollständig ausgewertete zweite Ableitung  , die ebenfalls eine Matrix ist, im Allgemeinen nicht mit der Matrix   kommutiert.

Dies sind keine Hindernisse, diese Eigenschaften machen nur die Rechnung etwas unübersichtlicher. Es bezeichne   den üblichen Newtonschritt, sei   der entsprechend modifizierte Term zweiter Ordnung. Dann gilt für die Taylorentwicklung in  

 

Der in   lineare Teil des Zählers wird nun zu Null gesetzt und weiter umgeformt. Dabei wird die Symmetrie von   ausgenutzt:

 

Werden nun die Kurznotationen durch die ursprünglichen Ausdrücke ersetzt, so ergibt sich

 .

Man überzeugt sich leicht, dass diese Formel sich im eindimensionalen Fall zur Halley-Iteration reduziert. Der sich daraus ergebende Iterationsschritt des mehrdimensionalen Halley-Verfahrens kann in 3 einfacheren Schritten bestimmt werden:

  1. Newton-Schritt: Löse  
  2. Korrektur des Newton-Schritts: Löse  
  3. Setze  

Ist die 2.Ableitung Lipschitz-stetig, so konvergiert das Verfahren lokal kubisch.

Da   als klein vorausgesetzt wurde, ist es nicht mehr notwendig, die Inverse der großen Klammer zu bestimmen. Es kann wieder der binomische Trick (bzw. die Taylorformel 1. Grades) benutzt werden, um den einfacheren, aber bis auf Terme dritter Ordnung (nun in F(x)) identischen Ausdruck

 

zu erhalten. Die daraus abgeleitete Iteration ist das Euler-Tschebyschow-Verfahren.

LiteraturBearbeiten

  • T.R. Scavo, J.B. Thoo: On the geometry of Halley’s method. In: American Mathematical Monthly, Volume 102, 1995, number 5, S. 417–426.
  • Hubert Schwetlick: Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1979.

WeblinksBearbeiten

Dieser Artikel wurde dem Artikel en:Halley's method der englischen Wikipedia nachempfunden (Stand 26. Januar 2007).