Euler-Tschebyschow-Verfahren
Das Euler-Tschebyschow-Verfahren (nach Leonhard Euler und Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow; auch Verfahren der berührenden Parabeln) bezeichnet in der Numerischen Mathematik ein iteratives Verfahren zum Lösen nichtlinearer Gleichungen. Es ist vergleichbar mit dem Newton-Verfahren, hat jedoch die Konvergenzordnung 3.
Beschreibung
BearbeitenHat man eine nichtlineare Gleichung in Nullstellenform
- einer Funktion
und einen hinreichend guten Startwert , so erhält man über eine näherungsweise Berechnung der Nullstelle der abgebrochenen Taylorentwicklung
in jedem Schritt das folgende Verfahren. Die genaue Herleitung des Verfahrens ist in Halley-Verfahren im Abschnitt zum mehrdimensionalen Fall beschrieben.
Algorithmus
Bearbeiten- Wähle einen Startwert , ein , , setze
- Falls oder Stopp
- Löse : , (Newton-Schritt)
- Löse : , (quadratische Korrektur)
- Setze ,
Eigenschaften
BearbeitenOffenbar benötigt man im Gegensatz zum Newton-Verfahren die 2. Ableitung der Funktion. Die Erhöhung der Konvergenzordnung lohnt sich also nur, wenn die Berechnung der 2. Ableitung im Vergleich mit der Berechnung von Funktionswert und erster Ableitung leicht ist. Über andere Näherungen der Nullstelle der Taylorentwicklung erhält man andere Verfahren. Ein Beispiel dafür wäre das Halley-Verfahren.
Beispiel
BearbeitenAls einfaches eindimensionales Beispiel soll die Berechnung der Nullstelle von mit dem Startwert 0 genommen werden. Die erste Ableitung ist die zweite Ableitung
- Schritt 1
- , ,
- Schritt 2
- , ,
Nach dem 2. Schritt erhält man als Funktionswert und kann abbrechen.
Literatur
Bearbeiten- Hubert Schwetlick: Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1979, 346 S.