Spezielle lineare Gruppe

Fachbegriff aus der Mathematik

Die spezielle lineare Gruppe vom Grad über einem Körper (oder allgemeiner einem kommutativen, unitären Ring) ist die Gruppe aller Matrizen mit Koeffizienten aus , deren Determinante 1 beträgt; diese werden auch unimodulare Matrizen genannt.[1] Die Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation.

Verknüpfungstafel von

Die spezielle lineare Gruppe vom Grad über wird mit bezeichnet. Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper die Menge der reellen oder der komplexen Zahlen ist, schreibt man auch oder .

EigenschaftenBearbeiten

Die spezielle lineare Gruppe   ist ein Normalteiler der allgemeinen linearen Gruppe  .

Die Faktorgruppe   ist isomorph zu  , der Einheitengruppe von   (für einen Körper   ist   gleich  ). Der Beweis erfolgt über den Homomorphiesatz mit der Determinante als Homomorphismus.

Wichtige Untergruppen der   sind für   die spezielle orthogonale Gruppe   und für   die spezielle unitäre Gruppe  .

Die spezielle lineare Gruppe   über dem Körper   oder   ist eine Lie-Gruppe über   der Dimension  .

Die speziellen linearen Gruppen sind algebraische Gruppen, da die Bedingung, dass die Determinante gleich 1 sein muss, durch eine polynomiale Gleichung in den Matrix-Koeffizienten ausgedrückt werden kann.

Die spezielle lineare Gruppe   beinhaltet alle orientierungstreuen und volumenerhaltenden linearen Abbildungen.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Eric W. Weisstein: Determinant. In: MathWorld (englisch).