Orthogonaler Tensor

Orthogonale Tensoren sind einheitenfreie Tensoren zweiter Stufe, die eine Drehung oder Drehspiegelung im euklidischen Vektorraum ausführen. In der Kontinuumsmechanik werden nur Drehungen betrachtet, denn Drehspiegelungen kommen in den von der Schwerkraft bestimmten physikalischen Gesetzen der makroskopischen Welt nicht vor.

Lineare Abbildung eines Vektors durch einen Tensor T.
Drehung eines Vektors um die Drehachse mit Winkel durch einen orthogonalen Tensor Q.

Tensoren zweiter Stufe werden hier als lineare Abbildungen von geometrischen Vektoren auf geometrische Vektoren benutzt, die im Allgemeinen dabei gedreht und gestreckt werden, siehe Abbildung rechts oben. Bei einem orthogonalen Tensor, der eine Drehung oder Drehspiegelung repräsentiert, entfällt die Streckung, sodass der Betrag des Vektors bei der Transformation nicht verändert wird, siehe die untere Abbildung rechts. Orthogonale Tensoren werden üblicherweise mit den Formelzeichen Q oder R bezeichnet, wobei R zumeist für den Rotationstensor in der Polarzerlegung des Deformationsgradienten steht.

Bezüglich der Standardbasis können orthogonale Tensoren wie orthogonale Matrizen geschrieben werden und haben auch analoge Eigenschaften. Anders als Matrizen referenzieren die Koeffizienten eines Tensors jedoch auf ein Basissystem des zugrunde liegenden Vektorraums, sodass sich die Koeffizienten des Tensors bei einem Wechsel des Basissystems auf charakteristische Weise ändern. Jeder Tensor besitzt Invarianten, die bei einem Wechsel des Basissystems unverändert bleiben. Bei einem orthogonalen Tensor geben diese Invarianten über den Drehwinkel, die Drehachse und darüber, ob der Tensor eine Drehung oder Drehspiegelung repräsentiert, Auskunft.

Orthogonale Tensoren treten in der euklidischen Transformation auf, mit der die Beziehung zwischen beliebig bewegten Bezugssystemen und in ihnen vorliegenden physikalischen Größen beschrieben wird. In der Materialtheorie helfen orthogonale Tensoren dabei, bezugssysteminvariante Materialgleichungen aufzustellen. Außerdem wird die Richtungsabhängigkeit eines Materials (Transversale Isotropie, Orthotropie) mit orthogonalen Tensoren beschrieben.

DefinitionBearbeiten

Orthogonale Tensoren sind Tensoren zweiter Stufe Q, für die gilt:

   oder   

Die hochgestellte −1 kennzeichnet den inversen, (·) den transponierten Tensor und 1 den Einheitstensor. Wegen

 

ist

 

Ein orthogonaler Tensor, der eine reine Drehung repräsentiert, wird eigentlich orthogonal genannt und hat die Determinante +1. Bei det(Q) = -1 führt der Tensor einer Drehspiegelung aus. Weil Spiegelungen in der Mechanik nicht betrachtet werden, ist dort stets det(Q) = +1.

StarrkörperbewegungenBearbeiten

 
Geschwindigkeitsfeld (schwarz) eines Starrkörpers (grau) entlang seines Weges (hellblau) setzt sich zusammen aus der Schwerpunktsgeschwindigkeit (blau) und der Drehgeschwindigkeit (rot)

Jede Starrkörperbewegung lässt sich in eine Translation und eine Rotation zerlegen. Als Drehzentrum eignet sich jeder ruhende oder bewegte Punkt und auch der Schwerpunkt des Körpers, siehe Abbildung rechts. Sei   der zeitlich fixierte Differenzvektor zwischen einem Partikel   des starren Körpers und seinem Schwerpunkt   zu einem Zeitpunkt  . Die Translation des Körpers kann dann mit seiner Schwerpunktsbewegung   (mit  ) und seine Drehung mit einem von der Zeit aber nicht vom Ort abhängigen orthogonalen Tensor   (mit  ) dargestellt werden. Translation und Rotation zusammengenommen definieren die Bewegungsfunktion   des Partikels  :

 

Die Geschwindigkeit des Partikels ist dann

 

Der Vektor   ist hier der Ort des Partikels zur Zeit t und   ist seine Geschwindigkeit zur Zeit t. Beim Übergang von der oberen zur unteren Gleichung vollzieht sich der Wechsel von der lagrangeschen zur eulerschen Darstellung der Bewegung. Der Tensor   ist schiefsymmetrisch:

 

und besitzt daher einen dualen Vektor   mit der Eigenschaft:

   für alle   

Einsetzen des dualen Vektors in das Geschwindigkeitsfeld führt auf die eulersche Geschwindigkeitsgleichung

 

die keinen sichtbaren Tensor enthält. Nur im Kreuzprodukt, das einer Tensortransformation entspricht, verbirgt sich noch ein Hinweis auf einen Tensor.

TransformationseigenschaftenBearbeiten

VektortransformationBearbeiten

Ein orthogonaler Tensor dreht Vektoren, denn das Skalarprodukt zweier beliebiger Vektoren bleibt unter der linearen Abbildung mit Q erhalten:

 

Insbesondere ist mit   :

 

weswegen ein orthogonaler Tensor Q die Frobeniusnorm eines Vektors nicht verändert. Weil die Drehachse   bei einer reinen Drehung auf sich selbst abgebildet wird, ist die Drehachse der Drehung ein Eigenvektor eines eigentlich orthogonalen Tensors Q mit Eigenwert eins:

 

Ist Q ein uneigentlich orthogonaler Tensor, dann ist

 

Spatprodukt und KreuzproduktBearbeiten

 
Spat, der von drei Vektoren aufgespannt wird

Das Spatprodukt dreier Vektoren ist das Volumen des von den Vektoren aufgespannten Spats, siehe Bild. Werden die drei Vektoren wie im Bild mit   bezeichnet und mit einem orthogonalen Tensor transformiert, berechnet sich das Spatprodukt zu:

 

Wenn der Tensor eigentlich orthogonal ist, dann wird das Spatprodukt also durch ihn nicht verändert, andernfalls kehrt das Spatprodukt sein Vorzeichen um. Weiter folgt:

 

Das gilt für jeden Vektor  , weshalb der Vektor in den geschweiften Klammern verschwindet und auf

 

geschlossen werden kann. Deshalb kann ein eigentlich orthogonaler Tensor aus dem Kreuzprodukt herausgezogen werden während bei einem uneigentlich orthogonalen Tensor noch ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Mit dem Spatprodukt berechnet sich das Volumenelement und mit dem Kreuzprodukt berechnet sich das Oberflächenelement. Bei einer Drehspiegelung wechseln beide Elemente ihr Vorzeichen, weshalb sie nur bei einer Transformation mit einem eigentlich orthogonalen Tensor Q invariant gegenüber einer euklidischen Transformation sind.

TensortransformationBearbeiten

Sei T ein beliebiger Tensor zweiter Stufe, der einen Eigenwert   und zugehörigen Eigenvektor   besitzt, also

 

gilt, und Q sei ein orthogonaler Tensor. Dann ist

 

Also hat der Tensor S := Q·T·Q dieselben Eigenwerte wie T aber die mit Q gedrehten Eigenvektoren. Daraus folgt unmittelbar, dass die Hauptinvarianten und Beträge von S und T übereinstimmen.

Berechnung von orthogonalen TensorenBearbeiten

Bei der Berechnung von orthogonalen Tensoren können sich die drei Aufgaben stellen:

  • Wie wird aus der Drehachse und dem Drehwinkel der entsprechende orthogonale Tensor konstruiert?
  • Welcher orthogonale Tensor transformiert zwei gegebene, gegeneinander verdrehte Vektorraumbasen ineinander?
  • Wie lautet die Drehachse und der Drehwinkel eines gegebenen orthogonalen Tensors?

Diese Fragen werden in den folgenden Abschnitten beantwortet.

Drehachse und Winkel gegebenBearbeiten

Sei   ein Einheitsvektor (der Länge eins) und   ein Winkel. Dann ist der Tensor

 

eigentlich orthogonal und dreht um die Achse   mit Drehwinkel  . Das Kreuzprodukt von   mit dem Einheitstensor ergibt den schiefsymmetrischen axialen Tensor von   :

 

wenn   die Komponenten von   bezüglich der Standardbasis ê1,2,3 sind.

Bei einer Drehspiegelung wäre

 

Der Tensor Q hat jedenfalls die Spur und den schiefsymmetrischen Anteil

 

Die eingangs angegebene Formel für Q kann auch mit einem Rotationsvektor   geschrieben werden:

 

Das Exponential der schiefsymmetrischen Matrix   wird bei Drehmatrizen definiert und verwendet.

Es können auch Rotationsvektoren mit anderer Länge benutzt werden:

 

Letztere Variante ist in Anlehnung an die Quaternionen. In Büchter (1992)[1] findet sich eine ausführliche Diskussion der verschiedenen Parametrisierungsmöglichkeiten von Rotationen.

Urbild- und Bildvektoren gegebenBearbeiten

Gegeben seien drei linear unabhängige Vektoren  , die demnach eine Vektorraumbasis bilden. Die dazu duale Basis sei  , sodass also

 

gilt. Das Symbol   ist das Kronecker-Delta. Wenn nun die Vektorgruppe   durch Drehung aus der Basis   hervorgeht, dann gibt es einen orthogonalen Tensor Q, für den gilt:

 

Dieser Tensor erhält mit dem dyadischen Produkt “ von Vektoren die Form:

 

Mit der zu   dualen Basis   berechnet sich

 

weswegen nun die beiden Darstellungen

 

vorliegen. Derselbe Tensor Q überführt also auch die dualen Basen ineinander:

 

Die Determinante des Tensors berechnet sich mit den obigen Darstellungen zu:

 

weil oben eine Drehung und damit dieselbe Händigkeit der Basen vorausgesetzt wurde. Bei einer Drehspiegelung wäre det(Q) = -1 und die Händigkeiten der beiden Basen wäre verschieden.

Tensor gegebenBearbeiten

Die Drehachse eines orthogonalen Tensors Q ist seine Vektorinvariante  . Seien die Basen   und deren duale Basen   für i=1,2,3 sowie der orthogonale Tensor Q wie im vorigen Abschnitt definiert. Dann ergibt sich für die Drehachse von Q:

 

denn das Skalarkreuzprodukt „·×“ mit dem Einheitstensor vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt. Wegen

 

ist die Vektorinvariante tatsächlich ein Eigenvektor und daher parallel zur Drehachse. In der Matrizendarstellung mit den Zeilen   und Spalten   von Q bezüglich der Standardbasis ê1,2,3 ergibt sich:

 

Aus dem Abschnitt #Drehachse und Winkel gegeben sind die folgenden Beziehungen bekannt. Der Drehwinkel berechnet sich aus der Spur

 

Alternativ kann Drehachse   und -winkel   aus

 

ermittelt werden.

Das Eigensystem offenbart, dass die beiden konjugiert komplexen Eigenwerte   von Q Exponentialfunktionen des Winkels sind.

EigensystemBearbeiten

Wenn drei Vektoren   paarweise zueinander senkrecht sind und die Beträge eins haben,   die Drehachse und   der Drehwinkel des Tensors Q ist, dann hat dieser die Eigenwerte und -Vektoren

 

Die Zahl i ist die imaginäre Einheit und e die Eulersche Zahl. Die Vektoren   liegen in der Drehebene, sind in dieser, solange   gewährleistet ist, aber beliebig orientiert. Aus diesem Eigensystem ergibt sich die Darstellung

 

Die Händigkeit der Vektorgruppe   entscheidet über die Drehrichtung der Drehung um die Drehachse. Ist die Vektorgruppe rechtshändig, dann misst der Winkel gegen den Uhrzeigersinn andernfalls im Uhrzeigersinn um die Drehachse.

InvariantenBearbeiten

Wenn   der Drehwinkel des orthogonalen Tensors Q ist, dann gilt:

 

denn die zweite Hauptinvariante ist die Spur des Kofaktors

 

Mit der obigen Darstellung

 

berechnen sich die Hauptinvarianten:

 

Die Vektorinvariante ist, wie im Abschnitt #Tensor gegeben, die Drehachse, die mit dem Einheitstensor berechnet wird:

 

Die Frobeniusnorm eines orthogonalen Tensors ist immer gleich der Wurzel der Raumdimension:

 

Siehe auchBearbeiten

FußnotenBearbeiten

  1. N. Büchter: Zusammenführung von Degenerationskonzept und Schalentheorie bei endlichen Rotationen. 1992 (PDF-Version, archiviert am 2014-10-19 – Bericht Nr. 14 des Instituts für Baustatik der Universität Stuttgart).

LiteraturBearbeiten

  • H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
  • J. Hanson: Drehungen in drei, vier und fünf Dimensionen. 2011, arxiv:1103.5263 (englisch, Originaltitel: Rotations in three, four, and five dimensions.).