Hauptmenü öffnen

Eine Eichtransformation verändert die Eichfelder einer physikalischen Theorie (z. B. die elektromagnetischen Potentiale oder die potentielle Energie) dergestalt, dass die physikalisch wirksamen Felder (z. B. das elektromagnetische Feld oder ein Kraftfeld) und damit alle beobachtbaren Abläufe dabei die gleichen bleiben.[1] Dies wird als Eichfreiheit bezeichnet.

Man unterscheidet:

  • globale Eichtransformationen: sie werden an jedem Ort mit gleichem Wert durchgeführt, z. B. die Verschiebung des Nullpunkts der potentiellen Energie, die Wahl des Referenzpotentials bei der Messung elektrischer Spannungen, ein konstanter Phasenfaktor an der komplexen Wellenfunktion der Quantenmechanik.
  • lokale Eichtransformationen: dabei werden die Veränderungen an einem Parameter nicht durch einen einzigen Wert bestimmt, sondern mit Hilfe einer örtlich und/oder zeitlich variierenden Funktion.

Eine physikalische Wirkung, die invariant unter lokalen Eichtransformationen ist, wird als eichinvariante Wirkung bezeichnet. Eine Theorie, die nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung aus einer eichinvarianten Wirkung die physikalischen Bewegungsgleichungen gewinnt, wird als Eichtheorie bezeichnet. Alle fundamentalen Wechselwirkungen – Gravitation, Elektromagnetismus, schwache Wechselwirkung (Beta-Zerfall des Neutrons) und die starke Wechselwirkung (Kernkräfte) – werden durch solche Eichtheorien beschrieben.

Nach dem Noether-Theorem weist die einer Eichtransformation zugrundeliegende Symmetrie auf die Existenz einer Erhaltungsgröße hin.

ElektrodynamikBearbeiten

Die Elektrodynamik ist invariant unter der Eichtransformation

 
 

welche das elektrische Potential   und das magnetische Potential   um die partiellen Ableitungen einer beliebig wählbaren Funktion   ändert.

Diese Transformation ändert weder das Magnetfeld

 

noch das elektrische Feld

 

Zur Definition von   und   siehe Gradient und Rotation.

BeispieleBearbeiten

Eichtransformationen können genutzt werden, um Berechnungen zu vereinfachen.

Die Beispiele verwenden das Maßsystem mit  .

Lorenz-EichungBearbeiten

Durch die nach Ludvig Lorenz benannte Eichtransformation mit einer Eichfunktion  , die

 

erfüllt, werden die inhomogenen Maxwellgleichungen zu zwei unabhängigen Wellengleichungen von   und  .

Coulomb-EichungBearbeiten

Erfüllt die Eichfunktion   hingegen

 

so hilft die Transformation, das Skalarfeld   gerade zum Coulomb-Potential der Ladungen zu transformieren;   erfüllt dann die elektrostatische Poissongleichung.

Allgemeine RelativitätstheorieBearbeiten

Ebenso ist die Allgemeine Relativitätstheorie eine Eichtheorie, deren Eichtransformation neue Koordinaten als frei wählbare Funktionen der bisherigen Koordinaten festlegt:

 

Die Wirkung der Allgemeinen Relativitätstheorie ändert sich unter dieser Eichtransformation nicht.

LiteraturBearbeiten

  1. Robert G. Brown: Gauge Transformations (englisch) Abgerufen am 17. Januar 2013: „A gauge transformation can be broadly defined as any formal, systematic transformation of the potentials that leaves the fields invariant.“