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Wirkung (Physik)

physikalische Größe
Physikalische Größe
Name Wirkung
Formelzeichen
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI Js = kg·m2·s−1 M·L2·T−1

Die Wirkung ist in der theoretischen Physik eine physikalische Größe mit der Dimension Energie mal Zeit oder Länge mal Impuls. Sie hat also dieselbe Dimension wie der Drehimpuls.

Die Wirkung ist ein Funktional, das die physikalisch durchlaufenen Bahnen in der Menge der denkbaren Bahnen auszeichnet. Die Bewegungsgleichungen der physikalisch durchlaufenen Bahnen besagen, dass bei festgehaltenem Anfangs- und Endpunkt im Phasenraum die Wirkung der physikalischen Bahn unter allen denkbaren Bahnen einen lokalen Extremwert annimmt. Diese Bedingung heißt Hamiltonsches Prinzip oder Prinzip der kleinsten Wirkung.

Inhaltsverzeichnis

Wirkung eines PunktteilchensBearbeiten

In der klassischen Mechanik ordnet die Wirkung   jeder zweifach differenzierbaren Bahn  , die ein Punktteilchen mit der Zeit   von einem Anfangspunkt   zu einem Endpunkt   durchläuft, den Wert des Integrals

 

zu. Dabei ist in Newtons Mechanik die Lagrangefunktion   eines Teilchens der Masse  , das sich im Potential   bewegt, die Differenz von kinetischer und potentieller Energie als Funktion der Zeit  , des Ortes   und der Geschwindigkeit  ,

 

Im Integranden der Wirkung   wird für   der Ort   der Bahn zur Zeit   und für   seine Zeitableitung   eingesetzt. Das Integral dieser verketteten Funktion der Zeit ist die Wirkung der Bahn  .

Verglichen mit der Wirkung aller anderen zweifach differenzierbaren Bahnen, die anfänglich durch   und schließlich durch   laufen, ist die Wirkung der physikalischen Bahn stationär, denn ihre Bewegungsgleichung

 

ist die Euler-Lagrange-Gleichung der Wirkung  .

Beispiel: harmonischer OszillatorBearbeiten

Beispielsweise ist

 

die Lagrangefunktion eines harmonischen Oszillators mit Masse   und Federkonstanten  .

Die physikalischen Bahnen genügen der Euler-Lagrange-Gleichung, der zufolge zu allen Zeiten   die Euler-Ableitung

 

verschwindet, wenn man für   den Ort   einsetzt, der zur Zeit   durchlaufen wird, und für   die Zeitableitung der Bahn  .

Die zu   gehörigen physikalischen Bahnen   erfüllen also

 .

Jede Lösung dieser Gleichung ist von der Form

 ,

wobei   die Amplitude der Schwingung und   ihre Phasenverschiebung ist.

Zur Zeit   durchläuft sie den Ort   und zur Zeit   den Ort  .

Ihre Wirkung ist das Integral

 .

Das Integral kann mit dem Additionstheorem

 

leicht ausgewertet werden, aber das ist für unsere Betrachtungen unerheblich,

 .

Auf jeder anderen Bahn

 ,

die zwischenzeitlich um   ein wenig von   abweicht,  , unterscheidet sich die Wirkung in erster Ordnung in   um

 

Partielle Integration wälzt im ersten Term die Ableitung von   ohne Randterme (weil dort   verschwindet) mit einem Minuszeichen auf   ab und ergibt für alle zwischenzeitlichen Änderungen   das Negative des zweiten Terms

 

Es ist also die Wirkung jeder physikalischen Bahn stationär unter allen zwischenzeitlichen Änderungen.

Bedeutung in der Theoretischen PhysikBearbeiten

Die Wirkung als Funktional von Bahnen oder Feldern ist auch grundlegend für

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten