Elektrisches Potential

physikalische Größe
Physikalische Größe
Name elektrisches Potential
Formelzeichen
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI V M L2 T−3 I−1
Gauß, esE (cgs) Statvolt (statV) M1/2 L1/2 T−1
emE (cgs) Abvolt (abV) M3/2 L1/2 T−2
Planck 1 M L2 T−2 Q−1

Das elektrische Potential, auch Coulomb-Potential, ist eine physikalische Größe in der klassischen Elektrodynamik. Es beschreibt die Fähigkeit eines elektrischen Feldes, Arbeit an einer elektrischen Ladung zu verrichten. Die SI-Einheit für das elektrische Potential ist Volt. Das Formelzeichen ist meistens , oder .

Die Differenz der Potentiale zwischen zwei Punkten wird als elektrische Spannung bezeichnet (siehe auch Potential und Spannung).

Ein gegebenes elektrisches Feld ordnet jedem Punkt im Raum ein Potential zu, das bis auf eine Konstante eindeutig ist. Wenn das Potential im gesamten Raum betrachtet wird, spricht man auch von einem Potentialfeld.

Anschauliche Erklärung Bearbeiten

Das elektrische Potential beschreibt die Fähigkeit eines elektrischen Feldes, Arbeit an einer elektrischen Ladung zu verrichten. Wenn sich eine Probeladung   durch ein elektrisches Feld bewegt, wirkt auf sie die Coulombkraft und es wird Arbeit an ihr geleistet. Sie erhält dadurch potentielle Energie  . Die Stärke der Coulombkraft und damit die Größe der zugeführten potentiellen Energie hängt von der Größe der Ladung ab. Um eine allgemeinere Darstellung der potentiellen Energie unabhängig von der Ladung zu erhalten, wird das elektrische Potential   eingeführt, indem die potentielle Energie durch die Ladung geteilt wird:

 

Das Potential gibt damit an, wie viel potentielle Energie eine Ladung pro Ladungseinheit im elektrischen Feld hat. Wenn das elektrische Feld sich nicht mit der Zeit verändert (siehe Elektrostatik), kann man das elektrische Potential als eine Art "Energie pro Ladung" betrachten. Wenn das elektrische Feld sich jedoch im Laufe der Zeit ändert (siehe Elektrodynamik), muss die Definition des elektrischen Potentials angepasst werden.

In der Elektrostatik Bearbeiten

Kennt man die potentielle Energie   für eine unbewegte Punktladung   im gesamten Raum, berechnet sich das elektrische Potential durch

 

Elektrisches Potential einer Punktladung Bearbeiten

Elektrisches Potential einer positiven bzw. negativen Punktladung. Die Stärke des Potentials wird durch den Farbverlauf von Magenta (+) über gelb (0) zu blau (-) angegeben. Die ringförmigen Linien geben die Äquipotentialflächen an, die anderen Linien, das elektrische Feld.
 
Das elektrische Potential einer Punktladung bei verschieden großer Ladung. Blau ist negative Ladung, rot ist positive.

Das elektrische Potential einer unbewegten Punktladung  , auch Coulomb-Potential genannt, ist im SI-Einheitensystem gegeben durch

 

Dabei bezeichnet

Im Heaviside-Lorentz-Einheitensystem gilt wegen   vereinfacht

 

Elektrisches Potential eines beliebigen statischen Feldes Bearbeiten

Statische elektrische Felder   sind wirbelfrei, sie können deshalb als Gradient eines Skalarfeldes dargestellt werden (siehe Gradientenfeld). Das negative Skalarfeld wird dabei als elektrisches Potential   bezeichnet.

 

Ist das elektrische Feld   bekannt, so lässt sich das Potential am Punkt mit dem Ortsvektor  , ausgehend von einem Nullpotential   im Ort  , durch ein Kurvenintegral berechnen:

 

Üblicherweise wird   als Nullpotential gewählt. Daraus folgt:

 

Im Innern eines Leiters ist das elektrische Potential wegen   damit konstant.[1][2]

Für eine bekannte Ladungsverteilung   gilt:

 

Poisson-Gleichung Bearbeiten

Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung   gilt die Poisson-Gleichung:

 

Speziell für den leeren Raum ergibt sich aus der Poisson-Gleichung mit   die Laplace-Gleichung

 .

  ist damit eine harmonische Funktion.

Dabei bezeichnet

In der Elektrodynamik Bearbeiten

Dynamische elektrische Felder sind nicht wirbelfrei, weil nach dem Induktionsgesetz

 

gilt und können deshalb nicht als Gradientenfelder dargestellt werden. Wirbelfrei ist hingegen der Ausdruck

 

Dieses wirbelfreie Vektorfeld   ist mit dem elektrischen Potential   als Gradientenfeld darstellbar:

 

Umgekehrt lässt sich das Potential an einem Ort  , ausgehend von einem Nullpotential   in einem beliebig gewählten Ort  , durch ein Kurvenintegral bestimmen:

 

Mit der üblichen Wahl von   als Nullpotential folgt:

 

Für eine bekannte Ladungsverteilung   mit der Coulomb-Eichung   gilt wie in der Elektrostatik:

 

Dabei bezeichnet

Für stationäre Felder gilt   und  , sodass die dynamischen Gleichungen wieder in die Gleichungen für statische Felder übergehen.[1][2]

Poisson-Gleichung Bearbeiten

Mit der Lorenz-Eichung   folgt für eine kontinuierliche Ladungsverteilung   die Poisson-Gleichung:

 

Mit der Coulomb-Eichung   folgt hingegen

 

Dabei bezeichnet

Eichtransformation Bearbeiten

In der Elektrostatik konnte das Potential bereits durch die freie Wahl des Nullpotentials um eine beliebige Konstante verschoben werden. In der Elektrodynamik hat das Potential noch mehr Freiheitsgrade. So kann für ein Potential   und das zugehörige Vektorpotential   die folgende Eichtransformation

 
 

durchgeführt werden, um ein neues Potential   und Vektorpotential   zu erhalten, die dieselben elektrischen und magnetischen Feldern erzeugen.

Die beiden am häufigsten verwendeten Eichungen sind die Lorenz-Eichung und die Coulomb-Eichung. Es sind aber auch beliebig viele andere Eichungen möglich.

Messung und der Zusammenhang mit der elektrischen Spannung Bearbeiten

 
Im Flammensonden-Versuch lässt sich die Differenz des elektrischen Potentials als Spannung messen

Das Potential eines elektrischen Feldes ist nicht eindeutig definiert, es kann immer eine beliebige Konstante dazu addiert werden, die von der Wahl des Nullpotentials abhängt (siehe Eichfreiheit). Der konkrete Wert des Potentials an einem Ort   kann deshalb beliebig gewählt werden.

Hingegen ist die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten, auch elektrische Spannung genannt, eindeutig und kann deshalb auch gemessen werden.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. a b Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2 Elektrizität und Optik. 7., korr. und erw. Auflage. Springer-Verlag GmbH, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-55789-1.
  2. a b Grundkurs Theoretische Physik 3 Elektrodynamik. 10. Aufl. 2013. Berlin, Heidelberg, ISBN 978-3-642-37905-5.