Elektrisches Potential

physikalische Größe
Physikalische Größe
Name elektrisches Potential
Größenart elektrisches Potential
Formelzeichen
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI V M L2 T−3 I−1
cgs g1/2·cm1/2·s−1 M1/2 L1/2 T−1
Gauß (cgs) Statvolt (statV) M1/2 L1/2 T−1
HLE (cgs) Statvolt (statV) M1/2 L1/2 T−1
esE (cgs) Statvolt (statV) M1/2 L1/2 T−1
emE (cgs) Abvolt (abV) M1/2 L1/2 T−1
Planck 1 M L2 T−2 Q−1

Das elektrische Potential, auch elektrisches Potenzial, (griechischer Kleinbuchstabe Phi) ist eine physikalische Größe in der klassischen Elektrodynamik. Das elektrische Potential ist die Fähigkeit eines elektrischen Feldes, Arbeit an einer elektrischen Ladung zu verrichten. Die international verwendete Einheit für das elektrische Potential ist Volt. Das Formelzeichen ist meistens , oder .

Die Differenz der Potentiale an zwei Punkten bezeichnet man als die elektrische Spannung zwischen diesen Punkten (siehe auch Potential und Spannung).

Ein gegebenes elektrisches Feld ordnet jedem Punkt des Raumes ein, bis auf eine Konstante, eindeutiges Potential zu. Betrachtet man das Potential im gesamten Raum, spricht daher von einem Potentialfeld.

Anschauliche ErklärungBearbeiten

Auf eine Probeladung   wirkt in einem elektrischen Feld die Coulombkraft. Wenn sich die Probeladung durch das elektrische Feld bewegt, wird deshalb Arbeit an ihr geleistet und sie erhält die potentielle Energie  . Die Coulombkraft ist stärker, je größer die Ladung   ist. An einer großen Ladung wird deshalb mehr Arbeit verrichtet und die potentielle Energie ändert sich stärker als bei einer kleinen Ladung. Die potentielle Energie ist folglich von der Größe der Ladung   abhängig. Um eine allgemeinere Darstellung der potentiellen Energie unabhängig von der Größe der Ladung zu erhalten, wird das elektrische Potential   eingeführt. Man erhält es, indem die potentielle Energie   durch die Ladung   geteilt wird:

 

Dabei wird davon ausgegangen, dass sich das elektrische Feld zeitlich nicht verändert (siehe Elektrostatik). Für sich zeitlich verändernde elektrische Felder (siehe Elektrodynamik), muss diese Definition angepasst werden.

Elektrisches Potential eines statischen elektrischen FeldesBearbeiten

Elektrisches Potential einer PunktladungBearbeiten

 
Das elektrische Potential einer Punktladung bei verschieden großer Ladung. Blau ist negative Ladung, rot ist positive.

Das elektrische Potential einer unbewegten Punktladung  , auch Coulomb-Potential genannt, ist im SI-Einheitensystem gegeben durch

 

Dabei bezeichnet

  •   die elektrische Ladung
  •   die elektrische Feldkonstante
  •   die Position des betrachteten Punktes relativ zur Punktladung.

Im Heaviside-Lorentz-Einheitensystem gilt wegen   vereinfacht

 

Elektrisches Potential eines beliebigen statischen FeldesBearbeiten

 
Im Flammensonden-Versuch lässt sich das elektrische Potential als Spannung messen

Statische elektrische Felder   sind wirbelfrei, sie können deshalb als Gradient eines Skalarfeldes dargestellt werden (siehe Gradientenfeld). Das negative Skalarfeld wird dabei als elektrisches Potential   bezeichnet.

 

Ist das elektrische Feld   bekannt, so lässt sich das Potential am Punkt mit dem Ortsvektor  , ausgehend von einem Nullpotential   im Ort  , durch ein Kurvenintegral berechnen:

 

Üblicherweise wird   als Nullpotential gewählt. Daraus folgt:

 

Im Innern eines Leiters ist das elektrische Potential wegen   damit konstant.[1][2]

Für eine bekannte Ladungsverteilung   gilt:

 

Poisson-GleichungBearbeiten

Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung   gilt die Poisson-Gleichung:

 

Speziell für den leeren Raum ergibt sich aus der Poisson-Gleichung mit   die Laplace-Gleichung

 .

  ist damit eine harmonische Funktion.

Dabei bezeichnet

Elektrisches Potential eines dynamischen elektrischen FeldesBearbeiten

Dynamische elektrische Felder sind nicht wirbelfrei, und können deshalb nicht als Gradientenfelder dargestellt werden, weil nach dem Induktionsgesetz gilt:

 

Wirbelfrei ist hingegen der Ausdruck:

 

Dieses wirbelfreie Vektorfeld   ist mit dem elektrischen Potential   als Gradientenfeld darstellbar:

 

Umgekehrt lässt sich das Potential an einem Ort  , ausgehend von einem Nullpotential   in einem beliebig gewählten Ort  , durch ein Kurvenintegral bestimmen:

 

Mit der üblichen Wahl von   als Nullpotential folgt:

 

Für eine bekannte Ladungsverteilung   mit der Coulomb-Eichung   gilt wie in der Elektrostatik:

 

Dabei bezeichnet

Für stationäre Felder gilt   und  , sodass die dynamischen Gleichungen wieder in die Gleichungen für statische Felder übergehen.[1][2]

Poisson-GleichungBearbeiten

Mit der Lorenz-Eichung   folgt für eine kontinuierliche Ladungsverteilung   die Poisson-Gleichung:

 

Mit der Coulomb-Eichung   folgt hingegen

 

Dabei bezeichnet

EichtransformationBearbeiten

In der Elektrostatik konnte das Potential bereits durch die freie Wahl des Nullpotentials um eine beliebige Konstante verschoben werden. In der Elektrodynamik hat das Potential noch mehr Freiheitsgrade. So kann für ein Potential   und das zugehörige Vektorpotential   die folgende Eichtransformation

 
 

durchgeführt werden, um ein neues Potential   und Vektorpotential   zu erhalten, die dieselben elektrischen und magnetischen Feldern erzeugen.

Die beiden am häufigsten verwendeten Eichungen sind die Lorenz-Eichung und die Coulomb-Eichung. Es sind aber auch beliebig viele andere Eichungen möglich.

Messung und der Zusammenhang mit der elektrischen SpannungBearbeiten

Das Potential eines elektrischen Feldes ist nicht eindeutig definiert, es kann immer eine beliebige Konstante dazu addiert werden, die von der Wahl des Nullpotentials abhängt (siehe Eichfreiheit). Der konkrete Wert des Potentials an einem Ort   kann deshalb beliebig gewählt werden. Eine direkte Messung des Potentials ist damit nicht möglich. Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten, auch elektrische Spannung genannt, ist hingegen eindeutig und kann deshalb auch gemessen werden.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2 Elektrizität und Optik. 7., korr. und erw. Auflage. Springer-Verlag GmbH, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-55789-1.
  2. a b Grundkurs Theoretische Physik 3 Elektrodynamik. 10. Aufl. 2013. Berlin, Heidelberg, ISBN 978-3-642-37905-5.