Arbeit (Physik)

physikalische Größe resultierend aus dem Einwirken einer Kraft auf einen Körper entlang eines Weges
Physikalische Größe
Name Arbeit
Formelzeichen
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI J = kg·m2·s−2
= N·m
= W·s
L2·M·T−2
cgs erg L2·M·T−2

Der physikalische Begriff Arbeit (Formelzeichen von englisch work) kann auf zwei Weisen gewonnen werden: Einerseits geht man in der Mechanik von einer Kraft aus, die auf ein Objekt einwirkt, während es einen Weg zurücklegt. Liegt im einfachsten Fall die Kraft parallel zum Weg, dann ist die von der Kraft verrichtete Arbeit das Produkt aus der Kraft und der zurückgelegten Strecke. Andererseits geht man vom Begriff der Energie aus, die auch in anderen Gebieten der Physik eine bedeutende Rolle spielt. Dann wird eine spezielle Form des Energietransfers mit Arbeit bezeichnet, bei der die Energie nicht aufgrund unterschiedlicher Temperaturen als Wärme übertragen wird. Auch in der Mechanik stellt die Arbeit ein Maß für den Energieübertrag dar, und bei sorgfältiger Formulierung stimmen beide Betrachtungsweisen im Ergebnis überein. Dimension und SI-Einheit (Joule, ) sind für Arbeit und Energie gleich.

In der Mechanik lautet die Definitionsgleichung in ihrer einfachsten Form . Hierbei wirkt die Kraft auf einen Körper, der in Richtung dieser Kraft die Strecke zurücklegt. In Worten: „Arbeit ist gleich Kraft mal Weg“. Diese Definition lässt sich u. a. direkt auf Hubarbeit, Beschleunigungsarbeit, Reibungsarbeit, Oberflächenarbeit, Kompressionsarbeit, Spannarbeit, elektrische Arbeit, magnetische Arbeit anwenden. Sie ist auch auf Drehbewegungen unter Einwirkung eines Drehmoments zu übertragen und lautet dann , wobei das Drehmoment auf den Körper bezeichnet und den Winkel (im Bogenmaß), um den er gedreht wird.

Die von der Energie ausgehende Definition legt den Satz von der Energieerhaltung zugrunde. Dieser lautet , wobei angibt, um wieviel sich der Energieinhalt eines Systems geändert hat, wenn an ihm die Arbeit verrichtet und ihm die Wärme zugeführt wurde. Die Wärme ist dabei als diejenige Energie gekennzeichnet, die allein aufgrund unterschiedlicher Temperaturen von einem System zu einem anderen fließt, während die Arbeit immer mit der Änderung von äußeren Parametern des Systems einhergeht. Dabei muss genau festgelegt werden, ob neben der in der der Thermodynamik definierten inneren Energie weitere Energieformen, wie z. B. kinetische und potentielle Energie des Systems, bei der Größe mitgezählt werden sollen.

Der mechanische Arbeitsbegriff entwickelte sich aus dem Studium der Kraftübertragung mit Hebeln, Seilen und Rollen. Man beobachtete dabei schon im Altertum, dass eine schwere Last mittels Kraftwandler mit verschieden großen Kräften angehoben werden kann, und dass das Produkt aus Kraft und Wegstrecke immer gleich ist, wenn die gleiche Last um den gleichen Betrag anzuheben ist. Der energetische Zugang zum Arbeitsbegriff entstand nach der Erfindung der Dampfmaschine aus der Frage, wieviel mechanische Arbeit aus einer bestimmten Wärmemenge, gewonnen werden kann, beispielsweise bei der Verbrennung einer bestimmten Menge Kohle. Mit dem dafür gebildeten Begriff der Entropie gilt: mit Arbeit wird nur Energie übertragen, aber keine Entropie; Wärme dagegen überträgt immer beides. Falls hingegen die durch Arbeit empfangene Energie sich ungeordnet im System verteilt, wird Entropie neu gebildet, und man spricht von Dissipation. Sie führt dazu, dass die übertragene Energiemenge nun in Form thermischer Energie vorliegt und nicht mehr als Lage- oder Bewegungsenergie fassbar ist.

Eine tiefere Deutung der Begriffe Arbeit und Wärme ergibt sich in der mikroskopischen Beschreibung eines Systems sehr vieler Teilchen.

EinführungBearbeiten

Schiebt man eine Tasse mit dem Finger unter gleichmäßigem Druck über den Tisch, beträgt die vom Finger auf die Tasse ausgeübte Kraft beispielsweise  . Wird die Tasse um die Strecke   verschoben, dann hat der Finger nach der Verschiebung die Arbeit

 

an der Tasse geleistet.

Gemäß dem Dritten Newtonschen Gesetz übt während der Verschiebung die Tasse auf den Finger eine gleich große aber entgegengesetzt gerichtete Kraft   aus. Die Tasse leistet am Finger also die Arbeit

 .

Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Arbeit dem Finger entzogen wird.

In Übereinstimmung mit dem Prinzip der Energieerhaltung ist die der Tasse in Form von Arbeit zugeführte Energie also gleich der dem Finger entzogenen Energie. Die Betrachtungsweisen „Finger leistet Arbeit an Tasse“ und „Tasse leistet Arbeit am Finger“ sind also gleichermaßen möglich, und es kann die in der vorliegenden Situation anschaulichere oder bequemere gewählt werden. Es ist jedoch stets auf das korrekte Vorzeichen zu achten und deutlich zu machen, welcher der beteiligten Körper als der die Arbeit leistende betrachtet wird.

Die Tasse leistet ihrerseits bei der Bewegung über die Tischplatte Reibungsarbeit. Die der Tasse zugeführte Arbeit wird letztlich vollständig in Wärme umgewandelt. Da die Bestimmungsgrößen der Arbeit – die aufgewandte Kraft und die zurückgelegte Strecke – leicht messbar sind, konnte J.P. Joule die bei seinen Versuchen zum mechanischen Wärmeäquivalent als Folge der aufgewandten mechanischen Arbeit freigesetzte Wärmemenge leicht anhand dieser Größen bestimmen. Auch andere Energieformen können auf ähnliche Weise auf die mechanische Arbeit zurückgeführt werden.

Fällt eine Kugel der Masse   durch eine zähe Flüssigkeit (z. B. Honig), liegen im Prinzip dieselben Verhältnisse vor. Aufgrund der Schwerebeschleunigung   greift an der Kugel die konstante Gewichtskraft   an und leistet an der Kugel in jedem durchfallenen Meter die Arbeit  . Diese Arbeit wird von der inneren Reibung der Flüssigkeit in Wärme umgewandelt.

Fällt die Kugel im Vakuum, tritt keine Reibung auf. Die von der Gewichtskraft an der Kugel geleistete Arbeit vermehrt daher kontinuierlich die kinetische Energie der Kugel, die sich also beschleunigt bewegt. Mit jedem durchfallenen Meter nimmt die kinetische Energie der Kugel um die an ihr geleistete Beschleunigungsarbeit   zu.

Wie der Vergleich der letzten beiden Beispiele zeigt, kommt es nur auf die zurückgelegte Strecke (hier  ) an, nicht jedoch auf die Geschwindigkeit, mit der die Strecke durchlaufen wird. Es ist unerheblich, ob die Kugel am Beginn der Messstrecke fallengelassen wird, oder ob sie aus großer Höhe kommend die Strecke mit großer Geschwindigkeit durchfällt.

Ist die Richtung der Kraft nicht parallel zur Richtung der Verschiebestrecke, dann kommt nur die zur Strecke parallele Kraftkomponente zur Wirkung. Steht die Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung, leistet sie keine Arbeit (ein Beispiel wäre ein seitlich auf einen fahrenden Zug wirkender Winddruck). Liegt die Kraft antiparallel zur Verschiebestrecke, ist die geleistete Arbeit negativ, wie im ersten Beispiel.

DefinitionBearbeiten

 
Kraft-Weg-Diagramm bei konstanter Kraft. Die markierte Fläche bemisst die verrichtete Arbeit.

Arbeit wird in der Mechanik definiert als das Skalarprodukt aus Kraft und Weg: Wenn auf einen Körper auf der geraden Strecke vom Punkt A zum Punkt B eine konstante Kraft   wirkt, dann wird am Körper die Arbeit

 

verrichtet. Dabei ist   der Verbindungsvektor von A nach B, und sein Skalarprodukt mit dem Vektor   ist das Produkt der Beträge   und   mal dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels.

Die Bedeutung des physikalischen Begriffs Arbeit beruht auf folgendem Sachverhalt: Beschleunigt die betrachtete Kraft den Körper, so erhöht sich seine kinetische Energie auf dem Weg von A nach B um die an ihm verrichtete Arbeit.

Wirkt die konstante Kraft in Richtung des zurückgelegten Weges, dann ist die Arbeit das Produkt der Beträge  , da der Winkel null und sein Kosinus = 1 ist.

Ist die Richtung der Kraft der Bewegungsrichtung entgegengesetzt, dann bilden die beiden Vektoren einen Winkel von 180°, dessen Kosinus der Wert −1 ist. In diesem Fall wird an dem Körper eine negative Arbeit verrichtet, das heißt ihm wird Energie entnommen, er wird langsamer.

Ist die Richtung der Kraft senkrecht zum Weg, dann wird keine physikalische Arbeit verrichtet. Der physikalische Begriff entspricht also nicht dem alltäglichen Verständnis, nach dem jeder Kofferträger für seine verrichtete Arbeit bezahlt wird.

 
Kraft-Weg-Diagramm bei veränderbarer Kraft. Die markierte Fläche bemisst die verrichtete Arbeit.

Wenn die Kraft nicht entlang des gesamten Weges konstant ist oder der Weg nicht gerade ist, so kann man die Arbeit näherungsweise berechnen, indem man den Weg durch einen Streckenzug aus N geraden Teilstücken   mit   nähert, auf denen die Kraft   jeweils näherungsweise als konstant angenommen werden kann. Die entlang des gesamten Weges verrichtete Arbeit ergibt sich dann näherungsweise durch Summierung der Arbeiten entlang der einzelnen Wegstücke als

  Mit   als Summenzeichen.

Um den genauen Wert zu erhalten, wählt man die Wegstücke immer kleiner, so dass ihre Länge gegen null und ihre Anzahl gegen unendlich geht. Der Grenzwert der Summe ist das Weg- oder Kurvenintegral

 

wobei   den Anfangspunkt und   den Endpunkt des Weges bezeichnen.

Mittels der Variablensubstitution   lässt sich das Arbeitsintegral mit der Geschwindigkeit   umschreiben zu

 .

Ist die Kraft   der Gradient eines Potentials

 

dann handelt es sich um eine konservative Kraft. In diesem Fall hängt der Wert des Integrals – also die Arbeit – nur von dem Start- und dem Endpunkt ab, jedoch nicht von dem genauen Verlauf des Weges. Man kann die Arbeit in einem Potenzialfeld also auch einfach durch die Differenz der potentiellen Energien berechnen:

 

Umgekehrt ist die potentielle Energie an einem bestimmten Ort gleich der Arbeit, die erforderlich ist, um den Probekörper von einem zuvor festgelegten Nullniveau dorthin zu bringen.

Handelt es sich bei dem Weg um eine geschlossene Kurve (sprich: sind der Start- und der Endpunkt identisch), dann ist die Arbeit null.

Dissipativen Kräften liegt jedoch kein Potenzialfeld zugrunde. Dies ist z. B. bei der Reibung der Fall. Hier kommt die Arbeit nicht der potenziellen oder kinetischen Energie des Probekörpers zugute, sondern der inneren Energie des Systems. Die Dissipation von Arbeit ist ein irreversibler Prozess. Dabei erhöht sich die Entropie des Systems, ohne dass Wärme von außen zugeführt wurde.

Formen von ArbeitBearbeiten

  • Hubarbeit: Arbeit, die an einem ruhenden Körper der Masse   verrichtet werden muss, um ihn im homogenen Schwerefeld mit Erdbeschleunigung   um die Hubhöhe   zu heben
Die zum Heben benötigte Kraft beträgt (in Folge der Schwerkraft):  ,
Die zurückgelegte Strecke   entspricht der Höhe  .
Damit beträgt die geleistete Hubarbeit:  
  • Spannarbeit, auch Federarbeit, um eine zunächst ungespannte Feder um die Strecke   zu dehnen:
Die (Spann-)Kraft einer Feder der Federkonstante   beträgt bei der Federdehnung  :  .
Da die Kraft längs des Weges nicht konstant ist, tritt an Stelle des Produkts   das Integral  .
Damit beträgt die verrichtete Spannarbeit:  .
  • Beschleunigungsarbeit: Ein Körper der Masse   wird auf eine Geschwindigkeit   beschleunigt und dabei seine kinetische Energie um   geändert:
Aus der Ruhe:
 
Oder allgemeiner von der Geschwindigkeit   ausgehend:
 
  • Kompressionsarbeit: Arbeit, die an einem Gas verrichtet werden muss, um es vom Volumen   auf das Volumen   zu verdichten:
 
Das negative Vorzeichen stammt aus der Konvention, dass die von außen zugeführte Arbeit positiv zu werten ist. Der Druck   kann (je nach Art der Zustandsänderung) variabel oder konstant sein.
Bei konstantem Druck wird daraus die Druck-Volumen-Arbeit, z. B. bei der Förderung eines Flüssigkeitsvolumens   gegen einen konstanten Förderungshinderungsdruck.
 
 
verrichtet werden. Hierbei ist das Vorzeichen der Spannung konventionsgemäß so gewählt worden, dass   ist, wenn das elektrische Potential am Anfang höher ist als am Ende.
  • Magnetische Arbeit: Wenn sich in einem Magnetfeld   ein magnetischer Dipol   befindet, muss am Dipol bei Erhöhung des Magnetfelds die Arbeit
 
verrichtet werden.[1]
  • Reibungsarbeit: Im einfachsten Fall, bei makroskopischen Körpern, definiert als Produkt aus Reibungskraft und Weg, also  . Allgemein wird hier mechanische Energie in Innere Energie umgewandelt. Siehe auch Dissipation.
  • Oberflächenarbeit: Um eine Oberfläche  , in der die Oberflächenspannung um   herrscht, um   zu vergrößern, ist die Arbeit
  zu verrichten.
  • Ein Beispiel aus der Physiologie: Die Herzarbeit setzt sich aus der Druck-Volumen-Arbeit und der Beschleunigungsarbeit durch Addition der Arbeit der beiden Ventrikel zusammen.[2][3]

Kraftwandler und Goldene Regel der MechanikBearbeiten

Will man eine bestimmte Arbeit mit geringerer Kraft verrichten, so ist dies mit einem Kraftwandler möglich. Beispiele für Kraftwandler sind Flaschenzüge, Hebel oder Getriebe. Jedoch verlängert sich der Weg über den die Kraft aufgebracht werden muss. Wird beispielsweise durch Verwendung eines Kraftwandlers nur ein Viertel der ohne ihn erforderlichen Kraft benötigt, so ist dies mindestens mit einer Vervierfachung des Weges verbunden. Diese Konsequenz des Energieerhaltungssatzes beschreibt die „Goldene Regel der Mechanik“.

Historische EntwicklungBearbeiten

In den Anfängen der Mechanik wurde die Arbeit noch nicht von allen Gelehrten als Kraft mal Weg definiert. Stattdessen herrschte gut ein halbes Jahrhundert Verwirrung und Streit um die Frage, wie physikalische Arbeit zu bemessen sei[4]. So standen sich im 17. Jahrhundert insbesondere Leibniz und Descartes mit ihren Ansichten stellvertretend gegenüber: Leibniz bevorzugte eine Vorform der heutigen Definition, in der die Arbeit proportional zum Weg ist - Descartes vertrat eine Proportionalität zur Zeit. Descartes Auffassung entsprach damit der alltäglichen Wahrnehmung des Arbeitsbegriffs; einer über eine bestimmte Zeit wirkenden Anstrengung.

Beide Auffassungen bestanden solange ungestört nebeneinander, wie lediglich die statischen Maschinen des Altertums betrachtet wurden (Hebel, Flaschenzug oder die schiefe Ebene). Bei diesen ist es unerheblich, ob die Goldene Regel der Mechanik auf den gesparten Weg oder die gesparte Zeit bezogen wird. Als Leibniz allerdings 1686 in den Acta Eruditorum den Vergleich beider Herangehensweisen bei einem Beispiel aus der Dynamik, dem Fallenlassen von Gewichten, anwandte, kam es zu Differenzen beider Parteien. Denn durch die seit Galilei bekannte quadratische Zunahme der Fallstrecke mit der Zeit, stimmen die Aufschlagsenergien zwischen den Definitionen nicht überein[5]. Ein Gewicht, welches aus der vierfachen Höhe gegenüber einem Vergleichskörper fällt, besitzt nur die zweifache Fallzeit. Leibniz sprach ihm in den heutigen Begriffen daher vierfache Energie zu, Descartes und seine Anhänger nur doppelte.

Aufgrund der gewissen Willkürlichkeit, mit der sich sowohl der Fallstrecke als auch der Fallzeit die entscheidende Bedeutung für die freigewordene Arbeit zuweisen ließ, dauerte der Streit lange an und führte zu keiner wirklichen Klärung. Selbst Leibniz wurde mit der Zeit unsicher und äußerte, dass auch die Varianten "Kraft mal Zeit" bzw. "Masse mal Geschwindigkeit" mit Vorsicht für die Bestimmung von Bewegungsenergie genutzt werden könnten[6]. Schlussendlich etablierte sich die heutige Proportionalität zwischen Arbeit und Weg.

LiteraturBearbeiten

Anmerkungen und EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Klaus Stierstadt: Thermodynamik — Von der Mikrophysik zur Makrophysik Kap. 4.1.3, Springer Verlag, 2010, ISBN 978-3-642-05097-8, e-ISBN 978-3-642-05098-5, DOI 10.1007/978-3-642-05098-5
  2. Christian Hick, Astrid Hick: Intensivkurs Physiologie. 2009, ISBN 978-3-437-41893-8, S. 68–69.
  3. gesundheit.de, Medizin-Lexikon.
  4. Szabó, István.: Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Korrigierter Nachdr. der 3., korrigierten und erw. Aufl. Birkhäuser, Basel 1996, ISBN 3-7643-1735-3, Kap. "Das Kräftemaß von Leibniz; seine lebendige und tote Kraft; der Streit um das wahre Kraftmaß", S. 62.
  5. Szabó, István.: Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Korrigierter Nachdr. der 3., korrigierten und erw. Aufl. Birkhäuser, Basel 1996, ISBN 3-7643-1735-3, S. 63.
  6. Szabó, István.: Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Korrigierter Nachdr. der 3., korrigierten und erw. Aufl. Birkhäuser, Basel 1996, ISBN 3-7643-1735-3, S. 67.

WeblinksBearbeiten