Christoffelsymbole

Hilfsgrößen der Differentialgeometrie

In der Differentialgeometrie sind die Christoffelsymbole, nach Elwin Bruno Christoffel (1829–1900), Hilfsgrößen zur Beschreibung der kovarianten Ableitung auf Mannigfaltigkeiten. Sie geben an, um wie viel sich Vektorkomponenten bei der Parallelverschiebung entlang einer Kurve ändern.

Im euklidischen Vektorraum sind die Christoffelsymbole die Komponenten der Gradienten der ko- und kontravarianten Basisvektoren eines krummlinigen Koordinatensystems.[1] In der allgemeinen Relativitätstheorie dienen die Christoffelsymbole zur Herleitung des Riemannschen Krümmungstensors.

Christoffelsymbole einer FlächeBearbeiten

In der klassischen Differentialgeometrie wurden die Christoffelsymbole erstmals für gekrümmte Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert. Sei also   eine orientierte reguläre Fläche und   eine Parametrisierung von  . Die Vektoren   und   bilden eine Basis der Tangentialebene  , und mit   wird der Normalenvektor zur Tangentialebene bezeichnet. So bilden die Vektoren   eine Basis des  . Die Christoffelsymbole  ,   werden bezüglich der Parametrisierung   dann durch das folgende Gleichungssystem definiert:

 

Schreibt man   für  ,   für   und   für  ,   für   usw., so lassen sich die definierenden Gleichungen zusammenfassend als

 

schreiben. Aufgrund des Satzes von Schwarz gilt  , das heißt,  , und daraus folgt die Symmetrie der Christoffelsymbole, das heißt   und  . Die Koeffizienten  ,   und   sind die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform.

Ist   eine Kurve bezüglich der gaußschen Parameterdarstellung  , so ist der tangentiale Anteil ihrer zweiten Ableitung durch

 

gegeben. Durch Lösen des Differentialgleichungssystems   findet man also die Geodäten auf der Fläche.

Allgemeine DefinitionBearbeiten

Die im vorigen Abschnitt definierten Christoffelsymbole kann man auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. Sei also   eine  -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Zusammenhang  . Bezüglich einer Karte   erhält man mittels   eine Basis des Tangentialraums   und somit auch ein lokales Reper (Basisfeld)   des Tangentialbündels. Für alle Indizes   und   sind dann die Christoffelsymbole   durch

 

definiert. Die   Symbole   bilden also ein System von Funktionen, welche vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängen (dieses System bildet aber keinen Tensor, s. u.).

Man kann die Christoffelsymbole auch für ein n-Bein, d. h. eine lokale Basis   die nicht unmittelbar durch eine Karte festgelegt wird, gemäß

 

definieren, wobei hier und im Folgenden die Summenzeichen gemäß der Einsteinschen Summenkonvention weggelassen werden.

EigenschaftenBearbeiten

Kovariante Ableitung von VektorfeldernBearbeiten

Im Folgenden bezeichnet, genauso wie im vorigen Abschnitt,   einen lokalen Rahmen, welcher durch eine Karte induziert wird, und   einen beliebigen lokalen Rahmen.

Seien   Vektorfelder mit den in   lokalen Darstellungen   und  . Dann gilt für die kovariante Ableitung von   in Richtung von  :

 

Dabei bezeichnet   die Anwendung der Derivation   auf die Komponentenfunktion  .

Wählt man einen lokalen Rahmen  , der von einer Karte   induziert wird, und wählt man für das Vektorfeld   speziell das Basisvektorfeld  , so erhält man

 

bzw. für die  -te Komponente

 

Im Indexkalkül für Tensoren schreibt man dafür auch   oder  , während man die partielle Ableitung   als   bezeichnet. Es ist bei   aber zu beachten, dass hier nicht nur die Komponente   abgeleitet wird, sondern dass es sich um die  -te Komponente der kovarianten Ableitung des gesamten Vektorfelds   handelt. Obige Gleichung schreibt sich dann als

 

bzw.

 

Wählt man für   und   den Tangentialvektor   einer Kurve   und ist   eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit, so hat   die gleiche lokale Darstellung bezüglich der Christoffelsymbole wie   aus dem ersten Abschnitt.

Christoffelsymbole bei riemannschen und pseudo-riemannschen MannigfaltigkeitenBearbeiten

Sei   eine riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit und   der Levi-Civita-Zusammenhang. Der lokale Rahmen sei der durch eine Karte   induzierte  .

Hier kann man die Christoffelsymbole durch

 

aus dem metrischen Tensor   gewinnen,[2][3] wobei, wie in der Allgemeinen Relativitätstheorie üblich, griechische Buchstaben für die Raumzeit-Indizes benutzt wurden. In diesem Fall sind die Christoffelsymbole symmetrisch, das heißt, es gilt   für alle   und  . Diese Christoffelsymbole nennt man auch Christoffelsymbole zweiter Art.

Als Christoffelsymbole erster Art werden die Ausdrücke

 

bezeichnet.

Ältere, besonders in der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendete Notationen sind für die Christoffelsymbole erster Art

 

sowie für die Christoffelsymbole zweiter Art

 

Anwendung auf TensorfelderBearbeiten

Die kovariante Ableitung kann von Vektorfeldern auf beliebige Tensorfelder verallgemeinert werden. Auch hier treten in der Koordinatendarstellung die Christoffelsymbole auf. In diesem Abschnitt wird durchgehend der oben beschriebene Indexkalkül verwendet. Wie in der Relativitätstheorie üblich, werden die Indizes mit griechischen Kleinbuchstaben bezeichnet.

Die kovariante Ableitung eines Skalarfeldes   ist

 

Die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes   ist

 

und bei einem Kovektorfeld, also einem (0,1)-Tensorfeld   erhält man

 

Die kovariante Ableitung eines (2,0)-Tensorfeldes   ist

 

Bei einem (1,1)-Tensorfeld   lautet sie

 

und für ein (0,2)-Tensorfeld   erhält man

 

Erst die hier auftretenden Summen bzw. Differenzen, nicht aber die Christoffelsymbole selbst, besitzen die Tensoreigenschaften (z. B. das korrekte Transformationsverhalten).

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik, Band 1 S. 313 ff.
  2. Eric Weisstein: Christoffel Symbols of the Second Kind (Wolfram Mathworld)
  3. Bruce Kusse, Erik Westwig: Christoffel Symbols and covariant derivatives (Seite 5, Formel F.24)

LiteraturBearbeiten

  • Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, S. 313 ff., doi:10.1007/978-3-658-25272-4.
  • Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoren in Mathematik und Physik. Band 2. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25279-3, doi:10.1007/978-3-658-25280-9.
  • Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.
  • Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
  • John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.