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Die Koordinatenebene im zweidimensionalen Raum

Als Koordinatenebene bezeichnet man in der analytischen Geometrie eine von zwei Einheitsvektoren aufgespannte Ursprungsebene. In zwei Dimensionen entspricht die Koordinatenebene der euklidischen Ebene und damit der Grundfläche eines kartesischen Koordinatensystems. Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Koordinatenebenen: die xy-Ebene, die xz-Ebene und die yz-Ebene.

Inhaltsverzeichnis

Analytische GeometrieBearbeiten

BezeichnungenBearbeiten

 
Die drei Koordinatenebenen im dreidimensionalen Raum

Im Folgenden seien die drei Koordinatenachsen des dreidimensionalen Raums   mit  ,   und   bezeichnet. Die drei Koordinatenebenen werden häufig mit den Buchstaben   gekennzeichnet, der mit zwei Indizes versehen wird, die die beiden Einheitsvektoren angeben, von denen die Ebene aufgespannt wird:

  • die  -Ebene   wird von den Vektoren   und   aufgespannt
  • die  -Ebene   wird von den Vektoren   und   aufgespannt
  • die  -Ebene   wird von den Vektoren   und   aufgespannt

Hierbei sind die drei Einheitsvektoren  ,   und  . Durch die drei Koordinatenebenen wird der dreidimensionale Raum in acht Oktanten zerlegt. Der Schnitt zweier Koordinatenebenen ergibt eine Koordinatenachse, der Schnitt aller drei Koordinatenebenen den Koordinatenursprung.

EbenengleichungenBearbeiten

Die drei Koordinatenebenen werden durch die folgenden Ebenengleichungen charakterisiert:

Koordinatenebene Koordinatenform Normalenform Parameterform Achsenabschnittsform
        nicht definiert
        nicht definiert
        nicht definiert

Hierbei sind   ein Punkt der jeweiligen Ebene,   das Skalarprodukt der Vektoren   und   sowie   und   reelle Zahlen.

Darstellende GeometrieBearbeiten

In der darstellenden Geometrie entsprechen die drei Koordinatenebenen häufig der Grundrissebene, der Aufrissebene und der Kreuzrissebene.

Synthetische GeometrieBearbeiten

In der synthetischen Geometrie wird eine affine oder projektive Ebene, der als Koordinatenbereich eine Menge mit einer bestimmten algebraischen Struktur (ein Ternärkörper, Quasikörper, Alternativkörper, Schiefkörper etc.) zugeordnet werden kann, als Koordinatenebene über diesem verallgemeinerten Körper bezeichnet.

LiteraturBearbeiten

  • Wolf-Dieter Klix, Karla Nestler: Konstruktive Geometrie. Hanser, 2001, ISBN 3-446-21566-2.
  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2007, ISBN 3-540-49328-X.

WeblinksBearbeiten

  Commons: Coordinate planes – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien