Achsenabschnittsform

Die Achsenabschnittsform ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. Bei der Achsenabschnittsform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum über ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen beschrieben. Diese Schnittpunkte werden auch Spurpunkte genannt, ihre Verbindungsstrecken liegen bei einer Ebene allgemein auf den Spurgeraden und bilden das Spurdreieck. Die Achsenabschnittsform ist eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene. Sie ist nicht definiert, wenn die Gerade oder Ebene den Koordinatenursprung enthält.

Achsenabschnittsform einer GeradengleichungBearbeiten

 
Achsenabschnittsform einer Geradengleichung

DarstellungBearbeiten

In der Achsenabschnittsform wird eine Gerade in der Ebene durch zwei reelle Zahlen   und   folgendermaßen über eine lineare Gleichung beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten   die Gleichung

 

erfüllen. Hierbei sind   und   die Schnittpunkte der Gerade mit den beiden Koordinatenachsen, die auch als Spurpunkte bezeichnet werden. Wird die Gleichung nach   aufgelöst, ergibt sich

 ,

wobei das Verhältnis   der Steigung der Geraden entspricht. Verläuft die Gerade parallel zu einer der Koordinatenachsen, dann fällt der jeweilige Spurpunkt und damit auch der entsprechende Term in der Achsenabschnittsform weg. Die Achsenabschnittsform ist nicht definiert, wenn die Gerade durch den Koordinatenursprung verläuft.

BeispielBearbeiten

Ein Beispiel für eine Geradengleichung in Achsenabschnittsform ist

 

Jede Wahl von  , die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise   oder  , entspricht genau einem Geradenpunkt. Die beiden Spurpunkte der Geraden sind   und   und ihre Steigung ist  .

BerechnungBearbeiten

Aus der Koordinatenform einer Geradengleichung mit den Parametern   und   lassen sich die Parameter der Achsenabschnittsform mittels Division durch   direkt angeben:

 .

Aus den weiteren Formen von Geradengleichungen, der Normalenform, der Hesseschen Normalform, der Parameterform und der Zweipunkteform, wird zunächst die zugehörige Koordinatenform der Gerade ermittelt (siehe Berechnung der Koordinatenform) und daraus dann die Achsenabschnittsform.

Achsenabschnittsform einer EbenengleichungBearbeiten

 
Achsenabschnittsform einer Ebenengleichung

DarstellungBearbeiten

Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der Achsenabschnittsform durch drei reelle Zahlen  ,   und   beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten   die Gleichung

 

erfüllen. Hierbei sind  ,   und   die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Diese Achsenabschnitte werden wiederum Spurpunkte genannt, ihre Verbindungsstrecken liegen im Allgemeinfall auf den Spurgeraden und bilden das Spurdreieck. Liegt die Ebene parallel zu einer oder zwei Koordinatenachsen, dann fallen die jeweiligen Spurpunkte und damit auch die entsprechenden Terme in der Achsenabschnittsform weg. Die Achsenabschnittsform ist nicht definiert, wenn die Ebene den Koordinatenursprung enthält.

BeispielBearbeiten

Ein Beispiel für eine Ebenengleichung in Achsenabschnittsform ist

 

Jede Wahl von  , die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise   oder  , entspricht genau einem Ebenenpunkt. Die drei Spurpunkte der Ebene sind  ,   und  .

BerechnungBearbeiten

Aus der Koordinatenform einer Ebenengleichung mit den Parametern   und   lassen sich die Parameter der Achsenabschnittsform mittels Division direkt angeben:

 .

Hat eine Ebene keinen Achsenabschnitt, da sie parallel zu einer Achse liegt, führt diese Rechnung zu einer Division durch Null.

Aus den weiteren Formen von Ebenengleichungen, der Normalenform, der Hesseschen Normalform, der Parameterform und der Dreipunkteform, wird zunächst die zugehörige Koordinatenform der Ebene ermittelt (siehe Berechnung der Koordinatenform) und daraus dann die Achsenabschnittsform.

AnwendungBearbeiten

Die Achsenabschnittsform wird beispielsweise in der Kristallographie bei den Millerschen Indizes zur Bezeichnung von Kristallflächen verwendet.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten