Zweipunkteform

Die Zweipunkteform oder Zwei-Punkte-Form ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung. In der Zweipunkteform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum mit Hilfe zweier Punkte der Geraden dargestellt. Die Koordinatendarstellung einer Gerade in der Ebene erfolgt in der Zweipunkteform mit Hilfe des Steigungsdreiecks der Geraden. In Vektordarstellung dient der Ortsvektor eines der beiden Punkte als Stützvektor der Gerade, während der Differenzvektor zu dem Ortsvektor des anderen Punkts den Richtungsvektor der Gerade bildet.

Die der Zweipunkteform entsprechende Form einer Ebenengleichung wird Dreipunkteform genannt.

KoordinatendarstellungBearbeiten

DarstellungBearbeiten

 
Zweipunkteform einer Geradengleichung

In der Zweipunkteform wird eine Gerade in der Ebene, die durch die beiden verschiedenen Punkte   und   verläuft, als die Menge derjenigen Punkte   beschrieben, deren Koordinaten die Gleichung

 

erfüllen. Hierbei müssen   und   verschieden sein und   darf nicht gleich   gewählt werden. Wird die Geradengleichung nach   aufgelöst, erhält man die explizite Darstellung

 ,

die auch für   verwendet werden kann. Ohne Einschränkung gültig ist die Darstellung

 .

BeispielBearbeiten

Sind beispielsweise die beiden gegebenen Geradenpunkte   und  , so erhält man als Geradengleichung

 

oder aufgelöst nach  

 

beziehungsweise

 .

HerleitungBearbeiten

Diese Darstellung einer Geradengleichung folgt daraus, dass für die Steigung   einer Gerade

 

gilt. Nach dem Strahlensatz kann nun anstelle des Punkts   ein beliebiger Geradenpunkt   gewählt werden, ohne dass sich das Verhältnis   verändert. Damit gilt dann auch

 .

Durch Gleichsetzen dieser beiden Gleichungen folgt daraus dann die Zweipunkteform. Letztere Gleichung entspricht der Punktsteigungsform einer Geradengleichung.

Darstellung als DeterminanteBearbeiten

Eine Gerade, die durch zwei vorgegebene Punkte verläuft, kann mit Hilfe der Determinante einer Matrix auch über die Gleichung

 

oder äquivalent dazu durch

 

definiert werden. Eine solche Darstellung wird auch als Determinantenform einer Geradengleichung bezeichnet.

VektordarstellungBearbeiten

 
Zweipunkteform einer Geradengleichung mit Vektoren

DarstellungBearbeiten

In Vektordarstellung wird eine Gerade in der Ebene in der Zweipunkteform durch die Ortsvektoren   und   zweier Punkte der Gerade beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren   die Gleichung

    für    

erfüllen. Der Vektor   dient dabei als Stützvektor der Gerade, während der Differenzvektor   den Richtungsvektor der Gerade bildet. Die Punkte der Gerade werden dabei in Abhängigkeit von dem Parameter   dargestellt, wobei jedem Parameterwert genau ein Punkt der Gerade entspricht. Damit handelt es sich hier um eine spezielle Parameterdarstellung der Gerade.

BeispielBearbeiten

Ausgeschrieben lautet die Zweipunkteform einer Geradengleichung

 

mit  . Sind beispielsweise die beiden Ortsvektoren   und  , so erhält man als Geradengleichung

 .

Jede Wahl von  , beispielsweise   oder  , ergibt dann einen Geradenpunkt.

BerechnungBearbeiten

Aus der Parameterform einer Geradengleichung mit Stützvektor   und Richtungsvektor   lässt sich neben dem Stützvektor ein weiterer Ortsvektor eines Punkts der Gerade einfach durch Wahl von

 

finden. Aus den weiteren Formen von Geradengleichungen, der Koordinatenform, der Achsenabschnittsform, der Normalenform und der hesseschen Normalform, wird zunächst die zugehörige Parameterform der Gerade ermittelt (siehe Berechnung der Parameterform) und daraus dann die Zweipunkteform.

Homogene KoordinatenBearbeiten

Eine verwandte Darstellung einer Gerade mit Hilfe zweier Geradenpunkte verwendet baryzentrische Koordinaten. Eine Gerade in der Ebene wird dann durch die Gleichung

    für       mit    

beschrieben. Hierbei sind   die normierten baryzentrischen Koordinaten eines Geradenpunkts. Sind beide Koordinaten positiv, so liegt der Geradenpunkt zwischen den beiden vorgegebenen Punkten, ist eine Koordinate negativ, außerhalb. Bei den baryzentrischen Koordinaten handelt es sich um spezielle homogene affine Koordinaten, während in der Zweipunkteform inhomogene affine Koordinaten verwendet werden.

VerallgemeinerungBearbeiten

Allgemein lassen sich durch die Zweipunkteform nicht nur Geraden in der Ebene, sondern auch in drei- und höherdimensionalen Räumen beschreiben. Im  -dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Gerade entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren   die Gleichung

    für    

erfüllen. Es wird dabei lediglich mit  -komponentigen statt zweikomponentigen Vektoren gerechnet. Auch die Darstellung mit baryzentrischen Koordinaten bleibt in höherdimensionalen Räumen in analoger Form erhalten.

LiteraturBearbeiten