Zweipunkteform

Die Zweipunkteform oder Zwei-Punkte-Form ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung. In der Zweipunkteform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum mit Hilfe zweier Punkte der Geraden dargestellt. Die Koordinatendarstellung einer Gerade in der Ebene erfolgt in der Zweipunkteform mit Hilfe des Steigungsdreiecks der Geraden. In Vektordarstellung dient der Ortsvektor eines der beiden Punkte als Stützvektor der Gerade, während der Differenzvektor zu dem Ortsvektor des anderen Punkts den Richtungsvektor der Gerade bildet.

Die der Zweipunkteform entsprechende Form einer Ebenengleichung wird Dreipunkteform genannt.

Koordinatendarstellung

Darstellung

Zweipunkteform einer Geradengleichung

In der Zweipunkteform wird eine Gerade in der Ebene, die durch die beiden verschiedenen Punkte $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$ verläuft, als die Menge derjenigen Punkte $(x,y)$ beschrieben, deren Koordinaten die Gleichung

${\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

erfüllen. Hierbei müssen $x_{1}$ und $x_{2}$ verschieden sein und $x$ darf nicht gleich $x_{1}$ gewählt werden. Wird die Geradengleichung nach $y$ aufgelöst, erhält man die explizite Darstellung

$y={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1})+y_{1}$,

die auch für $x=x_{1}$ verwendet werden kann. Ohne Einschränkung gültig ist die Darstellung

$(y-y_{1})\cdot (x_{2}-x_{1})=(x-x_{1})\cdot (y_{2}-y_{1})$.

Beispiel

Sind beispielsweise die beiden gegebenen Geradenpunkte $(1,3)$ und $(3,2)$, so erhält man als Geradengleichung

${\frac {y-3}{x-1}}={\frac {2-3}{3-1}}$

oder aufgelöst nach $y$

$y={\frac {2-3}{3-1}}\cdot (x-1)+3=-{\frac {x}{2}}+{\frac {7}{2}}$

beziehungsweise

$(y-3)\cdot (3-1)=(x-1)\cdot (2-3)$.

Herleitung

Diese Darstellung einer Geradengleichung folgt daraus, dass für die Steigung $m$ einer Gerade

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

gilt. Nach dem Strahlensatz kann nun anstelle des Punkts $(x_{2},y_{2})$ ein beliebiger Geradenpunkt $(x,y)$ gewählt werden, ohne dass sich das Verhältnis $m$ verändert. Damit gilt dann auch

$m={\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}$.

Durch Gleichsetzen dieser beiden Gleichungen folgt daraus dann die Zweipunkteform. Letztere Gleichung entspricht der Punktsteigungsform einer Geradengleichung.

Darstellung als Determinante

Eine Gerade, die durch zwei vorgegebene Punkte verläuft, kann mit Hilfe der Determinante einer Matrix auch über die Gleichung

$\det {\begin{pmatrix}x&x_{1}&x_{2}\\y&y_{1}&y_{2}\\1&1&1\end{pmatrix}}=0$

oder äquivalent dazu durch

$\det {\begin{pmatrix}x-x_{1}&x_{2}-x_{1}\\y-y_{1}&y_{2}-y_{1}\end{pmatrix}}=0$

definiert werden. Eine solche Darstellung wird auch als Determinantenform einer Geradengleichung bezeichnet.

Vektordarstellung

Zweipunkteform einer Geradengleichung mit Vektoren

Darstellung

In Vektordarstellung wird eine Gerade in der Ebene in der Zweipunkteform durch die Ortsvektoren ${\vec {p}}$ und ${\vec {q}}$ zweier Punkte der Gerade beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren ${\vec {x}}$ die Gleichung

${\vec {x}}={\vec {p}}+t({\vec {q}}-{\vec {p}})$   für   $t\in \mathbb {R}$

erfüllen. Der Vektor ${\vec {p}}$ dient dabei als Stützvektor der Gerade, während der Differenzvektor ${\vec {q}}-{\vec {p}}$ den Richtungsvektor der Gerade bildet. Die Punkte der Gerade werden dabei in Abhängigkeit von dem Parameter $t$ dargestellt, wobei jedem Parameterwert genau ein Punkt der Gerade entspricht. Damit handelt es sich hier um eine spezielle Parameterdarstellung der Gerade.

Beispiel

Ausgeschrieben lautet die Zweipunkteform einer Geradengleichung

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{x}\\p_{y}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}q_{x}-p_{x}\\q_{y}-p_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{x}+t(q_{x}-p_{x})\\p_{y}+t(q_{y}-p_{y})\end{pmatrix}}$

mit $t\in \mathbb {R}$. Sind beispielsweise die beiden Ortsvektoren ${\vec {p}}={\tbinom {2}{2}}$ und ${\vec {q}}={\tbinom {4}{1}}$, so erhält man als Geradengleichung

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4-2\\1-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2+2t\\2-t\end{pmatrix}}$.

Jede Wahl von $t$, beispielsweise $t=2$ oder $t=-1$, ergibt dann einen Geradenpunkt.

Berechnung

Aus der Parameterform einer Geradengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Richtungsvektor ${\vec {u}}$ lässt sich neben dem Stützvektor ein weiterer Ortsvektor eines Punkts der Gerade einfach durch Wahl von

${\vec {q}}={\vec {p}}+{\vec {u}}$

finden. Aus den weiteren Formen von Geradengleichungen, der Koordinatenform, der Achsenabschnittsform, der Normalenform und der hesseschen Normalform, wird zunächst die zugehörige Parameterform der Gerade ermittelt (siehe Berechnung der Parameterform) und daraus dann die Zweipunkteform.

Homogene Koordinaten

Eine verwandte Darstellung einer Gerade mit Hilfe zweier Geradenpunkte verwendet baryzentrische Koordinaten. Eine Gerade in der Ebene wird dann durch die Gleichung

${\vec {x}}=\lambda {\vec {p}}+\mu {\vec {q}}$   für   $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$   mit   $\lambda +\mu =1$

beschrieben. Hierbei sind $(\lambda ,\mu )$ die normierten baryzentrischen Koordinaten eines Geradenpunkts. Sind beide Koordinaten positiv, so liegt der Geradenpunkt zwischen den beiden vorgegebenen Punkten, ist eine Koordinate negativ, außerhalb. Bei den baryzentrischen Koordinaten handelt es sich um spezielle homogene affine Koordinaten, während in der Zweipunkteform inhomogene affine Koordinaten verwendet werden.

Verallgemeinerung

Allgemein lassen sich durch die Zweipunkteform nicht nur Geraden in der Ebene, sondern auch in drei- und höherdimensionalen Räumen beschreiben. Im $n$-dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Gerade entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren ${\vec {x}}$ die Gleichung

${\vec {x}}={\vec {p}}+t({\vec {q}}-{\vec {p}})$   für   $t\in \mathbb {R}$

erfüllen. Es wird dabei lediglich mit $n$-komponentigen statt zweikomponentigen Vektoren gerechnet. Auch die Darstellung mit baryzentrischen Koordinaten bleibt in höherdimensionalen Räumen in analoger Form erhalten.

Literatur

• Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1. Springer, 2007, ISBN 978-3-8348-0224-8. 
• Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-77731-1.