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Auswahl millerscher Indizes in einem Würfel

Millersche Indizes dienen in der Kristallographie der eindeutigen Bezeichnung von Kristallflächen bzw. Ebenen im Kristallgitter. Die Schreibweise (hkl) wurde im Jahr 1839 von William Hallowes Miller (1801–1880) vorgeschlagen.[1] In der gleichen Arbeit führte Miller auch die heute gebräuchlichen Schreibweisen [uvw] für Richtungen (Richtungsindizes) und {hkl} für Kristallformen, d. h. die Menge aller symmetrisch äquivalenten Flächen, ein.

Die millerschen Indizes werden wie folgt gebildet: Man bestimmt die Schnittpunkte der Kristallebene mit den drei Koordinatenachsen, kürzt gemeinsame Faktoren, bildet die Kehrwerte und multipliziert mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, so dass sich drei ganze, teilerfremde Zahlen ergeben.

AnwendungenBearbeiten

In der Mineralogie werden die millerschen Indizes verwendet, um Kristallflächen eindeutig zu beschreiben. Auch zur Angabe der Spaltbarkeit oder von Verzwillingungen werden sie benötigt.

Bei Beugungsmethoden wie der Röntgenbeugung oder der Elektronenbeugung bezeichnen sie eine Netzebenen-Schar. Hier werden auch höhere Indizes – beispielsweise 222 – eingesetzt, um die Beugung höherer Ordnung anzugeben. Diese Indizes werden als Laue-Indizes oder Laue-Symbol bezeichnet. Sie werden zur Unterscheidung von den nach Definition teilerfremden millerschen Indizes üblicherweise ohne Klammern geschrieben. Laue-Indizes werden z. B. bei der Angabe von systematischen Auslöschungen verwendet und gehen in die Formel des Strukturfaktors ein. Die Laue-Indizes sind die mit der Ordnung n der Interferenz (siehe Bragg-Gleichung) multiplizierten Miller-Indizes, z. B. wird die Reflexion 2. Ordnung an der Gitterebene mit den Miller-Indizes (100) mit Laue-Indizes 200 bezeichnet.[2]

In der Materialwissenschaft werden sowohl Gitterebenen als auch Gittervektoren benötigt, um Gitterfehler wie Versetzungen zu charakterisieren. Auch Gleitsysteme, Texturen oder die Kristallorientierung von Einkristallen können mit millerschen Indizes beschrieben werden.

NotationBearbeiten

Abhängig von seinem Kristallsystem wird jedem Kristall ein Koordinatensystem zugeordnet. Die drei Vektoren  ,   und   mögen die Basis dieses Gitterkoordinatensystems bilden (nicht zu verwechseln mit den primitiven Translationen des Gitters). Die Basis des zugehörigen reziproken Gitters sei durch die Vektoren  ,   und   gegeben (sie werden über die Basisvektoren   des Gitters definiert).

Gitterebene (millersche Indizes)Bearbeiten

Die millerschen Indizes sind drei ganzzahlige, teilerfremde Indizes  ,   und  , die das Zahlentriplett   bilden. Negative Indizes werden mit einem über die Zahl geschriebenen Balken gekennzeichnet, also beispielsweise  . Jedes solche Triplett bezeichnet eine spezifische Ebene.

Sind anstatt einer spezifischen Netzebene alle symmetrisch äquivalenten Ebenen gemeint, so wird die Notation   verwendet. Beispielsweise bezeichnet man mit   im kubischen Kristallsystem die aufgrund der kubischen Symmetrie äquivalenten Ebenen  ,  ,  ,  ,   und  , was den sechs Oberflächen eines Würfels entspricht.

Jeder Netzebenen-Schar   im direkten Gitter entspricht ein Punkt bzw. Ortsvektor im reziproken Gitter des Kristalls. Dieser Vektor hat im reziproken Raum die Koordinaten  ; er steht immer senkrecht auf der gleichnamigen Netzebene und hat als Länge den Kehrwert des Netzebenenabstandes.

Es ergeben sich zwei äquivalente Möglichkeiten, eine Gitterebene zu beschreiben:

Gitterebene im OrtsraumBearbeiten

Betrachtet man eine Gitterebene mit den Spurpunkten  ,   und  , (  sind die Einheitsvektoren eines rechtwinkligen Koordinatensystems des Raums) so ist die Achsenabschnittsform gegeben durch:

 

Hierbei ist

 

ein Normalenvektor der Ebene. Man bilde nun ein Vielfaches dieses Normalenvektors, sodass alle Einträge dieses Vielfachen des Normalenvektors ganze teilerfremde Zahlen sind. Sei dies z. B. im Folgenden durch die ganze Zahl   gewährleistet (möglich, da die  , da die Schnittpunkte auf dem Kristallgitter liegen sollen), dann gilt

 

Die Komponenten des Tupels   heißen die millerschen Indizes.[3] Negative Zahlen werden dabei durch einen Strich über dem zugehörigen Index anstelle des Minuszeichens gekennzeichnet. Ein Index von Null bezeichnet dabei einen Schnittpunkt im Unendlichen (wie man aus der Achsenabschnittsform sieht), d. h., der zugehörige Basisvektor ist parallel zur Ebene.

Gitterebene im reziproken GitterBearbeiten

Die andere Möglichkeit ist, mit   den reziproken Gittervektor

 

zu bezeichnen. Dieser Vektor steht senkrecht auf den entsprechenden Gitterebenen.

Dabei werden diejenigen ganzen Zahlen  ,   und   verwendet, die keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Dies entspricht dem kürzesten reziproken Gittervektor, der senkrecht auf der Ebene steht.

Gittervektoren (Richtungsindizes)Bearbeiten

Auch Vektoren innerhalb des Gitters können durch Indizes bezeichnet werden. Dabei wird die Notation   verwendet, um einen spezifischen Vektor zu bezeichnen. Die Notation   bezeichnet alle zum Vektor   symmetrisch äquivalenten Richtungen.

Beispiele: Bei einem kubischen Kristall (also einem Würfel) ist   eine Richtung parallel zu einer der Würfelkanten,   die Richtung einer der Flächendiagonalen und   die Richtung einer Raumdiagonalen.

Die Notation   beschreibt einen Vektor im realen Gitter (Gittervektor)

 

Dieser Vektor steht im Allgemeinen nicht senkrecht auf der Ebene  . Dies ist nur im kubischen Gitter der Fall.

Vierer-SchreibweiseBearbeiten

 
Millersche Indizes im hexagonalen Kristallsystem

Im trigonalen Kristallsystem und im hexagonalen Kristallsystem wird häufig die Schreibweise mit vier Indizes,   verwendet. Diese abgewandelten millerschen Indizes werden als bravaissche Indizes (auch Bravais-Miller-Indizes oder Miller-Bravais-Indizes) bezeichnet. Ein Vorteil dieser Indizes im hexagonalen Kristallsystem ist, dass symmetrieäquivalente Flächen leicht zu identifizieren sind, da sie durch Permutation der ersten drei Indizes erhalten werden. So sind die Flächen  ,   und   beispielsweise Flächen des hexagonalen Prismas. Die Indizes  ,   und   stimmen mit den üblichen millerschen Indizes überein,   ergibt sich immer als  .

Auch für die Richtungsindizes gibt es eine Vierer-Schreibweise. In der Kristallographie und Mineralogie werden meist die normalen Richtungsindizes   oder   verwendet, wobei durch einen Platzhalter für   angedeutet wird, dass das trigonale bzw. hexagonale Kristallsystem gemeint ist. t ist dabei immer null. Allerdings wird diese Schreibweise teilweise auch für die im Folgenden beschriebenen Weber-Indizes verwendet, weswegen es zu Verwechslungen kommen kann.

In der Werkstoffwissenschaft wird eine andere Schreibweise   bevorzugt, die sogenannten Weber-Indizes oder Weber symbols (engl.).[4] Die Umrechnung aus der Dreier-Schreibweise   ist hier unterschiedlich zur Umrechnung der Ebenen-Indizes:

 
 
 
 

Der Vorteil dieser Schreibweise liegt darin, dass die Richtung  , ähnlich wie in kubischen Kristallsystemen, senkrecht zur Ebene   ist. In der Dreier-Schreibweise ist dies in diesen Kristallsystemen im Allgemeinen nicht der Fall. Zudem können wie bei den Miller-Bravais-Indizes in kubischen Kristallsystemen aus Symmetriegründen äquivalente Richtungen durch Permutation der ersten drei Indizes erhalten werden und eine   bedeutet, dass die Richtung senkrecht zum entsprechenden Basisvektor ist. Da die Umrechnung von Richtungen in die Vierer-Schreibweise verglichen mit Ebenen komplizierter ist, werden in der Literatur Richtungen mit Weber-Indizes häufig falsch angegeben.

HerleitungBearbeiten

Die Richtung   soll äquivalent zu   sein, d. h. beide Indizes sollen in die gleiche Richtung zeigen. Also ist

 

Nun ist

 

weshalb sich dies als

 

schreiben lässt. Da

 

gilt, folgt

 .

Daher ist die Umrechnung von Webersymbolen in Richtungsindizes der Dreier-Schreibweise

 
 
 

wobei am Ende noch gekürzt werden muss. Aus Letzteren Gleichungen lassen sich durch Auflösen nach  ,   und   die Gleichungen zur Bestimmung der Weberindizes aus der Dreier-Schreibweise erhalten.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Miller Index – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. William Hallowes Miller: A treatise on crystallography. Deighton, Cambridge 1839, LCCN 04-030688, OCLC 8547577 (englisch, Volltext in der Google-Buchsuche).
  2. Walter Borchardt-Ott: Kristallographie. Springer 2008, S. 285, Fußnote 3.
  3. Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 3: Atome, Moleküle und Festkörper. Springer, 2005, ISBN 3-540-21473-9, S. 386 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  4. Leonhard Weber: Das viergliedrige Zonensymbol des hexagonalen Systems. In: Z. Kristallogr. Band 57, 1922, S. 200–203.