Als Gitter- oder Netzebene bezeichnet man in der Kristallographie eine Ebene, die durch Punkte des Kristallgitters aufgespannt wird. Ihre Lage im Raum wird durch die Millerschen Indizes (hkl) beschrieben.

BeschreibungBearbeiten

Ein Kristallgitter lässt sich als ganzzahlige Linearkombination der Basisvektoren  ,   und   (Richtung der Kristallachsen) beschreiben. Eine Gitterebene ist durch ihre Schnittpunkte mit den Kristallachsen festgelegt. Die Millerschen Indizes (hkl) bezeichnen die Ebene, die durch die drei Punkte  ,   und   geht. Also schneiden die Kristallachsen des jeweiligen Kristallsystems die Ebenen gerade an den Kehrwerten der einzelnen Indizes. Ein Index von Null bezeichnet dabei einen Schnittpunkt im Unendlichen, das heißt, der zugehörige Basisvektor ist parallel zur Ebene.

Der reziproke Gittervektor   steht senkrecht auf der durch die Millerschen Indizes (hkl) definierten Gitterebene. Die Vektoren  ,   und   bilden die Basisvektoren des reziproken Gitters.

Eine Gitterebenenschar besteht aus allen parallel verlaufenden Gitterebenen mit jeweils dem Gitterebenenabstand  . Dieser kann aus den Millerschen Indizes und den reziproken Gittervektoren berechnet werden:

 

Für Kristallsysteme mit rechtwinkligen Achsen, also orthorhombische und höher symmetrische Gitter (tetragonale und kubische Systeme) gilt folgende Formel ( ,  ,   seien die Gitterkonstanten):

 

Diese vereinfacht sich beispielsweise für kubische Systeme durch Gleichsetzen von   weiter:

 

HerleitungenBearbeiten

Eine Ebene (hkl) ist eindeutig durch drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte definiert. Dies sind hier die Schnittpunkte mit den Kristallachsen:  ,   und  . Die Vorfaktoren  ,  ,   ergeben sich aus den Kehrwerten der Millerschen Indizes.

Die Punkte auf der Ebene lassen sich durch die Parameterform   beschreiben (mit Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren, die in der Ebene liegen und nicht kollinear sind). Liegen zwei Punkte in der Ebene, so liegt deren Verbindungsvektor ebenfalls in der Ebene. Hierüber lassen sich die Richtungsvektoren konstruieren (  und  ). Als Aufpunkt wähle irgendeinen in der Ebene liegenden Punkt (hier  ):

 

Bildet man das Skalarprodukt zwischen dem reziproken Gittervektor   und   unter Ausnutzung der Relation  , so ergibt sich:

 

Für einen Normalenvektor der Ebene   sind die Skalarprodukte mit den Richtungsvektoren gleich Null (  und  ). Genau das trifft auf   zu, dieser steht also auf der Ebene (hkl) senkrecht.

Durch den Gitterpunkt am Koordinatenursprung verläuft parallel zur gerade betrachteten Ebene durch   auch eine Ebene mit den Indizes (hkl). Deren Abstand ist die Projektion eines Verbindungsvektors beider Ebenen ( ) auf den normierten Normalenvektor ( ). Dies ergibt zusammen mit obiger Rechnung den Gitterebenenabstand:

 

Im Nenner treten bei der Betragsbildung sowohl die Längen der reziproken Gittervektoren auf ( ) als auch die Projektionen der Gittervektoren aufeinander (  mit  ). Letztere sind bei nicht-orthogonalen Kristallsystemen ungleich Null:

 

Ein orthorhombisches Kristallsystem ist ein rechtwinkliges Kristallsystem mit drei 90°-Winkeln, jedoch ohne gleich lange Achsen. Die Gittervektoren lauten hier ausgedrückt bzgl. der kanonischen Einheitsbasis:

 
 
 

Und die dazugehörigen reziproken Gittervektoren sind ebenfalls orthogonal (  für  ):

 
 
 

Setze diese in obige allgemeine Formel für den Gitterebenenabstand ein:

 

Das kubische Kristallsystem ist ebenfalls rechtwinklig, aber zusätzlich sind die Gitterkonstanten bezüglich jeder Kristallachse gleich   und die Formel vereinfacht sich weiter zu:

 

Siehe auchBearbeiten