Elektromagnetischer Feldstärketensor

physikalische Größe in der Elektrodynamik

Der elektromagnetische Feldstärketensor (auch Faraday-Tensor oder einfach Feldstärketensor) ist eine physikalische Größe, die in der Elektrodynamik das elektromagnetische Feld als Feld in der Raumzeit beschreibt. Er wurde 1908 von Hermann Minkowski im Rahmen der Relativitätstheorie eingeführt. Die aus Physik und Technik bekannten vektoriellen Feldgrößen wie elektrische und magnetische Feldstärke lassen sich aus dem Feldstärketensor ableiten. Die Bezeichnung Tensor für die Art dieser Größe ist eine Abkürzung, tatsächlich ist es ein Tensorfeld, also ein von Punkt zu Punkt variierender Tensor.

DefinitionBearbeiten

Der elektromagnetische Feldstärketensor ist gewöhnlich definiert durch das Vektorpotential:

 

z. B. mit dem klassischen Vektorpotential

 

Diese Definition ist auch für die Quantenelektrodynamik gültig. Dort ist einfach nur das Vektorpotential operatorwertig. Es ist ein Spezialfall der Feldstärketensor-Definition einer allgemeinen Eichtheorie.

Eigenschaften und FormelnBearbeiten

Der Feldstärketensor besitzt folgende Eigenschaften:

  •   ist antisymmetrisch:  
  • Verschwindende Spur:  
  • Aufgrund der Antisymmetrie sind nur 6 der 16 Komponenten unabhängig

Hier einige häufig auftretenden Kontraktionen:

In der Lagrangedichte tritt dieser Lorentz-invariante Term auf:

 

Von Interesse ist auch die mit dem Levi-Civita-Symbol gebildete, pseudoskalare Invariante:

 

Mit der Konvention  .

In einigen Rechnungen kommt auch diese Größe vor:

 

Der Energie-Impuls-Tensor   der allgemeinen Relativitätstheorie für das elektromagnetische Feld wird aus   gebildet:

 

Darstellung als MatrixBearbeiten

Die Matrixdarstellung des Feldstärketensors ist koordinatenabhängig. In einer flachen Raumzeit (also mit Minkowski-Metrik) und kartesischen Koordinaten kann der kontravariante Feldstärketensor geschrieben werden als:

 

(Diese Matrix wird gelegentlich ebenfalls kurz als Tensor bezeichnet, ist aber nicht der Tensor selbst). Die kovariante Form der Matrixdarstellung des Tensors lautet bei Verwendung der Signatur (+,−,−,−) entsprechend

 

Inhomogene Maxwellgleichungen in kompakter FormulierungBearbeiten

Es ist gebräuchlich, auch den dualen elektromagnetischen Feldstärketensor zu definieren:

 

wobei   der kovariante Feldstärketensor ist.

Damit lassen sich sowohl die homogenen, als auch die inhomogenen Maxwellgleichungen kompakt aufschreiben:

 

wobei der folgende Viererstrom verwendet wurde:

 

Der elektromagnetische Feldstärketensor lässt sich auch mit Hilfe der Lorentzkraft begründenBearbeiten

Im Folgenden wird das CGS-System verwendet, um die fundamentalen Zusammenhänge klarer herauszuarbeiten. Zudem wird statt der magnetischen Flussdichte die magnetische Feldstärke verwendet, da diese die zur elektrischen Feldstärke äquivalente Größe ist.


 

Der Lorentzkraft ist die Relativitätstheorie bereits inne was im Folgenden klarer wird.

Mit

 

folgt

 

Mit dem Differential der Zeit und der Lichtgeschwindigkeit multipliziert cdt ergibt sich die Gestalt.

 

In Koordinatenschreibweise ergeben sich daraus drei Gleichungen.

 

Wechseln wir zur Koordinatenschreibweise der speziellen Relativitätstheorie mit den kontravarianten Komponenten  

 

 

Diese drei Gleichungen drücken den Impuls des Teilchens (multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit c) in Abhängigkeit vom elektromagnetischen Feld und der vier Raumzeit-Koordinaten   aus. Die Impulse auf der linken Seite sind die zu den drei Ortskoordinaten   kanonisch konjugierten Variablen. Da die Koordinate   die Zeit in der Relativitätstheorie repräsentiert und die zur Zeit konjugierte Variable die Energie ist, können wir das Gleichungssystem um eine weitere Gleichung ergänzen, dem Differential der Teilchenenergie. Dabei gilt zu beachten das nur das elektrische Feld Arbeit am Teilchen leistet.

 

 

 

Auf der linken Seite steht der Viererimpuls.

 

Wir wechseln in die kovariante Darstellung des Viererimpulses und sortieren nach den Komponenten der Koordinaten.

 

 

Nun erkennt man den Charakter der linearen Abbildung. Das Produkt der Feldkomponenten mit den Koordinatenkomponenten lässt sich elegant in der Matrixschreibweise darstellen.

 

Woraus der elektromagnetische Feldstärketensor folgt

 


 


Hier gilt zu beachten, dass aufgrund der Herleitung mit Hilfe der Lorentzkraft die Signatur   gilt. Für die Signatur   muss lediglich mit   multipliziert werden.

Darstellung in DifferentialformschreibweiseBearbeiten

Im Folgenden wird das CGS-System verwendet, um die fundamentalen Zusammenhänge klarer herauszuarbeiten.

Der Feldstärketensor   ist eine Differentialform zweiter Stufe auf der Raumzeit. Die maxwellschen Gleichungen lauten in Differentialformschreibweise   und   mit der magnetischen Stromdichte   und der elektrischen Stromdichte  , beide als 1-Formen wiederum auf der Raumzeit.

Da in der Regel von der Abwesenheit magnetischer Ladungen ausgegangen wird, ist  , und der Feldstärketensor kann somit als Ableitung   einer 1-Form   dargestellt werden.   entspricht dem raumzeitlichen Vektorpotential. Bei Anwesenheit magnetischer Ladungen nimmt man ein weiteres Vektorpotential hinzu, dessen Quelle die magnetische Stromdichte ist.

Beispiel: Der Feldstärketensor einer ruhenden Punktladung   ist   mit dem Abstand  . Eine entsprechende Lorentztransformation liefert den Feldstärketensor einer gleichförmig bewegten Ladung.

Die 4-Form   ist die Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes.

Ableitung der vektoriellen FeldgrößenBearbeiten

Relativ zur Bewegung eines Beobachters durch Raum und Zeit kann der Feldstärketensor in einen elektrischen und einen magnetischen Anteil zerlegt werden. Der Beobachter nimmt diese Anteile als elektrische beziehungsweise magnetische Feldstärke wahr. Unterschiedliche zueinander bewegte Beobachter können daher unterschiedliche elektrische oder magnetische Feldstärken wahrnehmen.

Beispiel: Wird in einem elektrischen Generator relativ zu einem „magnetischen“ Feld ein Draht bewegt, dann hat der Feldstärkentensor bei Zerlegung relativ zur Drahtbewegung und somit aus Sicht der im Draht enthaltenen Elektronen auch einen elektrischen Anteil, der für die Induktion der elektrischen Spannung verantwortlich ist.

In flacher Raumzeit (Minkowski-Raum) lassen sich die Vektorfelder   und   aus der Koordinatendarstellung   des Feldstärketensors ablesen: man erhält die obige Matrixdarstellung. Eine allgemeingültigere Beziehung ergibt sich aus der Zerlegung  , wo   einem zeitartigen und  ,   raumartigen Vektorfeldern entsprechen.[1]

Auftreten in der QuantenelektrodynamikBearbeiten

Der Feldstärketensor tritt direkt in der QED-Lagrangedichte (hier ohne Eichfixierungsterme) auf:

 

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Sylvan A. Jacques: Relativistic Field Theory of Fluids. arxiv:physics/0411237