Graduierung (Algebra)

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Unter Graduierung versteht man im mathematischen Teilgebiet der Algebra die Zerlegung einer abelschen Gruppe oder komplizierterer Objekte in Teile eines bestimmten Grades. Das namengebende Beispiel ist der Polynomring in einer Unbestimmten: Beispielsweise ist das Polynom Summe der Monome (Grad 3), (Grad 1) und (Grad 0). Umgekehrt kann man endlich viele Monome verschiedenen Grades vorgeben und erhält als Summe ein Polynom.

Es sei durchweg eine feste abelsche Gruppe. Beispielsweise kann man oder wählen.

Graduierte VektorräumeBearbeiten

Es sei   ein Körper. Eine  -Graduierung auf einem  -Vektorraum   ist ein System   von Untervektorräumen, so dass   die direkte Summe der   ist:

 

Die Vektorräume   heißen die graduierten Bestandteile von  .

Elemente   heißen homogen vom Grad   und man schreibt dafür kurz   oder  . Jedes Element   von   kann genau auf eine Weise als Summe homogener Elemente verschiedenen Grades geschrieben werden; sie heißen die homogenen Bestandteile (oder Komponenten) von  .

Graduierte abelsche Gruppen und  -Moduln für (gewöhnliche, nicht graduierte) Ringe   sind analog definiert.

Ist  , so spricht man häufig nicht explizit von einer  -Graduierung, sondern schlicht von einer Graduierung.

Graduierte AlgebrenBearbeiten

Es sei   ein Körper. Eine  -Graduierung auf einer  -Algebra   ist eine  -Graduierung auf   als  -Vektorraum, für die

 

für  , d. h.

  für  

gilt.

Graduierte RingeBearbeiten

Es sei   ein Ring. Eine  -Graduierung auf   ist eine Familie  , so dass

 ,

und

  für alle  .[1]

Dies verallgemeinert obige Definition für Algebren. Man beachte, dass für Algebren verlangt wird, dass die direkten Summanden der homogenen Elemente  -Untervektorräume sind, das heißt, dass eine Ring-Graduierung einer  -Algebra möglicherweise keine Algebren-Graduierung, wie sie oben definiert wurde, ist.

Graduierte ModulnBearbeiten

Es sei   ein  -graduierter Ring. Ein  -graduierter  -Modul   ist ein  -Modul

 ,

so dass

 

für   gilt.

Diese Definition bezieht sich auf den Fall von Linksmoduln, graduierte Rechtsmoduln sind analog definiert. Bei einer entsprechenden Definition für  -Algebren verlangt man noch, dass die   in obiger Definition  -Vektorräume sind.

BeispieleBearbeiten

  • Der Polynomring   in   Unbestimmten über einem Körper   ist durch den Gesamtgrad graduiert:
 
(Offenbar ist   für  .)
Es gibt aber noch andere Graduierungen auf  : Es seien   positive ganze Zahlen. Dann ist durch
 
ebenfalls eine Graduierung von   definiert, bei der jedoch das Monom   Grad   hat.
 
eine endlich erzeugte graduierte  -Algebra.
Ist beispielsweise   für eine Primzahl  , so ist  .

ℤ/2ℤ-GraduierungBearbeiten

Eine  -Graduierung eines Ringes oder einer Algebra   ist eine Zerlegung   mit  . Dann ist   ein Automorphismus auf   mit  . Umgekehrt definiert jeder solche Automorphismus eine Graduierung

 
 .

Eine  -Graduierung ist also nichts weiter als die Auszeichnung eines selbstinversen Automorphismus. Speziell für C*-Algebren ist eine  -Graduierung ein C*-dynamisches System mit Gruppe  . Unter einer graduierten C*-Algebra versteht man in der Regel eine  -graduierte C*-Algebra.

Viele mathematische Konstruktionen werden bei graduierten Objekten so angepasst, dass die vorliegende Graduierung respektiert wird. So definiert man etwa einen graduierten Kommutator für homogene Elemente durch

 

und für allgemeine Elemente durch lineare Fortsetzung. Man erhält dann zum Beispiel eine graduierte Jacobi-Identität[2]

 

für homogene Elemente  

Auch die Bildung des Tensorproduktes wird entsprechend angepasst. Die Multiplikation im graduierten Tensorprodukt  -graduierter Ringe   und   wird dann für Elementartensoren homogener Elemente durch

 

festgelegt. Sätze wie   lassen sich auch für die graduierten Tensorprodukte beweisen. Gibt es zusätzlich eine Involution auf den Ringen bzw. Algebren, wie zum Beispiel im Falle von C*-Algebren, so wird eine Involution auf dem graduierten Tensorprodukt durch

 ,   homogen,

definiert. Durch Übergang zur einhüllenden C*-Algebra erhält man so ein Tensorprodukt graduierter C*-Algebren.[3]

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Definition 5.3 für  
  2. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Satz 14.1.3
  3. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Definition 14.4.1