In der Mathematik erfüllt eine bilineare Abbildung auf dem Vektorraum die Jacobi-Identität (nach Carl Jacobi), falls gilt:

für alle .

Ist die bilineare Abbildung zusätzlich antisymmetrisch, so handelt es sich um eine Lie-Klammer. Wichtige Beispiele sind der Kommutator linearer Abbildungen, das Vektorprodukt und die Poisson-Klammer.

Andere SchreibweisenBearbeiten

Es sei im Folgenden

 

eine alternierende bilineare Abbildung. Die Jacobi-Identität ist dann äquivalent dazu, dass diese Abbildung die Struktur einer Lie-Algebra auf   definiert.

Dann kann die Jacobi-Identität auf folgende Arten umgeschrieben werden:

  •  
Anders gesagt: die Abbildung
 
ist eine Derivation bezüglich des Produktes  .
  •  
Anders gesagt: Mit der Notation
 
gilt
 
dabei ist die Klammer auf der rechten Seite der Kommutator in der Endomorphismenalgebra von  . Anders gesagt: Die Abbildung
 
ist eine Darstellung der Lie-Algebra   auf sich selbst. Sie heißt die adjungierte Darstellung.

QuellenBearbeiten

  • Jacobi-Identität. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8.