Lie-Klammer

Multiplikative Verknüpfung einer Lie-Algebra

Die Lie-Klammer ist ein Objekt aus der Mathematik, insbesondere aus dem Bereich der Algebra und der Differentialgeometrie. Die Lie-Klammer ist die multiplikative Verknüpfung in einer Lie-Algebra, also eine Art Multiplikation auf einer Menge mit einer besonderen algebraischen Struktur. Beispiele für eine solche Verknüpfung sind die triviale Lie-Klammer, der Matrix-Kommutator, das Kreuzprodukt oder die Poisson-Klammer. Benannt sind die Lie-Klammer und die Lie-Algebra nach dem Mathematiker Sophus Lie.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Vektorraum über dem Körper  . Eine innere Verknüpfung

 

heißt Lie-Klammer, falls sie die folgenden drei Eigenschaften besitzt:[1]

  • Sie ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten. Es gilt also
 
und
 
für alle   und alle  .
  • Es gilt   für alle  .
  • Sie genügt der Jacobi-Identität, das heißt, es gilt
 
für alle  .

Ein Vektorraum zusammen mit einer Lie-Klammer wird Lie-Algebra genannt.

EigenschaftenBearbeiten

AntisymmetrieBearbeiten

Aus der ersten und der zweiten Eigenschaft der Definition folgt die Antisymmetrie der Lie-Klammer, das heißt   für alle  . Hat der Körper   nicht die Charakteristik  , so kann man aus der Antisymmetrie alleine wieder die Eigenschaft   herleiten. Dazu setzt man  .[1]

FlexibilitätBearbeiten

Lie-Klammern sind im Allgemeinen nicht assoziativ, das heißt der Term   muss nicht gleich dem Term   sein. Jedoch erfüllt die Lie-Klammer das Flexibilitätsgesetz, es gilt also   für alle Elemente  .

BeispieleBearbeiten

Triviale Lie-KlammerBearbeiten

Ist   ein beliebiger Vektorraum und sind   und   zwei Elemente des Raums, dann kann durch

 

immer eine Lie-Klammer definiert werden. Vektorräume mit einer trivialen Lie-Klammer werden auch als abelsche Lie-Algebren bezeichnet.

Matrix-KommutatorBearbeiten

Seien  ,   und   drei  -Matrizen mit Einträgen in einem Körper   (zum Beispiel dem Körper   der reellen oder dem Körper   der komplexen Zahlen). Der Kommutator   für quadratische Matrizen ist definiert durch

 ,

wobei mit   die Matrixmultiplikation bezeichnet wird. Für   gelten für den Kommutator die Rechenregeln

 
  und
 

Daher ist der Kommutator auf dem Raum der  -Matrizen eine Lie-Klammer.

Als konkretes Beispiel werden nun noch die Pauli-Matrizen

 

über dem Körper   der komplexen Zahlen betrachtet. Bildet man den Kommutator von   und  , so gilt

 

KreuzproduktBearbeiten

Für   ist das Kreuzprodukt

 

eine Lie-Klammer. Im Vergleich zu den Beispielen zuvor wird diese Multiplikation normalerweise nicht mit Klammern notiert. Die Bilinearität und die Identität   können direkt an der Definition abgelesen werden. Um die Jacobi-Identität zu erkennen, muss der Term

 

komponentenweise ausgerechnet werden.

Lie-Klammer von VektorfeldernBearbeiten

Seien   und   zwei Vektorfelder auf der  -dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit  . Die Lie-Ableitung ist dann definiert durch

 .

Dieser Operator   erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer. Daher schreibt man auch  .[2]

Jacobi-KlammerBearbeiten

Seien   ein kommutativer Ring,   eine kommutative Algebra über   und   zwei Derivationen von  . Dann ist die durch

 

definierte Operation eine Lie-Klammer auf dem Raum der Derivationen. Sie wird Jacobi-Klammer genannt. Da die Vektorfelder aus dem vorigen Beispiel spezielle Derivationen sind und ihre Lie-Klammer entsprechend definiert ist, ist diese Lie-Klammer ein konkretes Beispiel für eine Jacobi-Klammer.[3]

Poisson-KlammerBearbeiten

Die Poisson-Klammer   ist eine zweistellige Operation, die auf der Algebra der glatten Funktionen operiert. Sie erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer und darüber hinaus noch die Produktregel

 

für alle glatten Funktionen  ,   und  . Oftmals werden Poisson-Klammern auf Funktionen angewandt, die von einer glatten Mannigfaltigkeit in die reellen Zahlen abbilden. Solche Mannigfaltigkeiten mit festgelegter Poisson-Klammer werden Poisson-Mannigfaltigkeiten genannt. Beispielsweise kann jede symplektische Mannigfaltigkeit auf natürliche Weise mit einer Poisson-Klammer versehen werden. In lokalen Koordinaten   hat die Poisson-Klammer die Darstellung

 .

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b James E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory. Springer, New York 1997, ISBN 3-540-90053-5, S. 4.
  2. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 278–279.
  3. Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra [Elektronische Ressource]. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1988, ISBN 978-3-322-80092-3, S. 105–106.