Poisson-Mannigfaltigkeit

Als Poisson-Mannigfaltigkeit bezeichnet man in der Mathematik eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die mit einer Poisson-Struktur versehen ist. Eine Poisson-Struktur ist eine bilineare Abbildung auf der Algebra der glatten Funktionen, welche die Eigenschaften einer Poisson-Klammer erfüllt. Benannt sind die Poisson-Mannigfaltigkeit, -Struktur und -Klammer nach dem Physiker und Mathematiker Siméon Denis Poisson.

DefinitionBearbeiten

Eine Poisson-Struktur auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit   kann entweder als Klammer oder als Bivektor definiert werden.

Als Poisson-KlammerBearbeiten

Eine Poisson-Struktur auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit   ist eine bilineare Abbildung

 ,

so dass die Klammer antisymmetrisch

 ,

ist, der Jacobi-Identität

 

genügt und für alle   eine Derivation darstellt

 .

Die bilineare Abbildung   der Poisson-Struktur heißt Poisson-Klammer und eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Poisson-Struktur wird Poisson-Mannigfaltigkeit genannt.[1]

Als Poisson-BivektorfeldBearbeiten

Ein Bivektorfeld   auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit   ist genau dann ein Poisson-Bivektorfeld (auch Poisson-Bivektor oder Poisson-Tensor genannt), wenn für die Schouten-Nijenhuis-Klammer auf dem Multivektorfeld   gilt. Man nennt dann   eine Poisson-Mannigfaltigkeit.[2]

Beide Definitionen sind äquivalent, es gilt

 .

BeispielBearbeiten

Sei   eine Lie-Algebra mit Lie-Klammer   und   ihr Dualraum mit der Paarung  . Auf   kann für   durch

 

mit   eine Poisson-Klammer erklärt werden. Mit   wird hier die Funktionalableitung von   nach   bezeichnet. Die Klammer   wird Lie-Poisson-Klammer genannt. Zusammen mit dieser Poisson-Klammer wird   zu einer Poisson-Mannigfaltigkeit. Diese Aussage heißt Satz von Lie-Poisson.[3]

AnwendungenBearbeiten

Insbesondere ist jede symplektische Mannigfaltigkeit auch eine Poisson-Mannigfaltigkeit. In diesem Fall ist dann die definierende Struktur

 

durch eine 2-Form   genant ein Poisson-Bivektor von  

 

beziehungsweise deren Komponenten   in lokalen Koordinaten gegeben.[4]

Poisson-Mannigfaltigkeiten können als algebraische Abstraktion von symplektischen Mannigfaltigkeit angesehen werden. Unterschiede bestehen neben einer viel größeren Klasse von Morphismen dann auch zum Beispiel darin, dass die Bedingung fallengelassen wird, die Poissonklammer solle nirgends singulär sein, also vollen Rang haben.

Anwendung findet dieser Kalkül beispielsweise in der Deformationstheorie. Er bietet dort Zugänge zur nichtkommutativen Geometrie und geometrischen Quantisierung.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 609–610.
  2. Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6, S. 213.
  3. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 613.
  4. Izu Vaisman: The Poisson Bivector and the Schouten-Nijenhuis Bracket. Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds. Hrsg.: Birkhäuser Basel. 1994, doi:10.1007/978-3-0348-8495-2_2.