Adjungierte Darstellung

In der Mathematik spielen die adjungierten Darstellungen von Lie-Gruppen und Lie-Algebren eine wichtige Rolle in Differentialgeometrie, Darstellungstheorie und Mathematischer Physik.

Lie-Gruppen und Lie-AlgebrenBearbeiten

Eine Lie-Gruppe   ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die zusätzlich die Struktur einer Gruppe besitzt, so dass die Gruppenverknüpfung und die Inversion beliebig oft differenzierbar sind.

Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist der Vektorraum der links-invarianten Vektorfelder mit dem Kommutator als Lie-Klammer. Die Lie-Algebra   kann auf kanonische Weise mit dem Tangentialraum im neutralen Element der Lie-Gruppe   identifiziert werden:

 .

Adjungierte DarstellungenBearbeiten

Sei   eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra  .

KonjugationBearbeiten

Definiere die Konjugation mit einem Element   durch

 

und definiere außerdem

 

Ad-FunktionBearbeiten

Definition Ad(g)

Für jedes   definieren wir die Ableitung von   im Punkt  , dem neutralen Element der Gruppe, durch

 

  bezeichnet den Differentialoperator an der Stelle  .

Das ist eine lineare Abbildung zwischen den Tangentialräumen

 

und somit ist   ein Element aus  .

Definition Ad

Die adjungierten Abbildungen definieren eine Darstellung der Gruppe

 

welche ein Lie-Gruppen-Homomorphismus ist und adjungierte Darstellung genannt wird.

ad-FunktionBearbeiten

Ebenfalls als adjungierte Darstellung bezeichnet wird die Ableitung von  

 

welche ein Lie-Algebren-Homomorphismus ist. Dies entspricht dem Anwenden der Lie-Klammer

 

für alle  .

Häufig nützt man auch folgende Notation

 

und

 

Weil es nach den Lie'schen Sätzen zu jeder endlich-dimensionalen reellen Lie-Algebra   eine bis auf Isomorphismus eindeutige einfach zusammenhängende Lie-Gruppe   mit   gibt, lässt sich die adjungierte Darstellung   für jede solche Lie-Algebra definieren.

Explizite BeschreibungBearbeiten

Für Matrizengruppen, d. h. abgeschlossene Untergruppen von  , lässt sich auch die adjungierte Darstellung der Lie-Gruppe explizit beschreiben: nach der kanonischen Identifizierung von   mit einer Teilmenge von   gilt

 

für alle  .

LiteraturBearbeiten

  • Arvanitoyeorgos, Andreas: An introduction to Lie groups and the geometry of homogeneous spaces. Translated from the 1999 Greek original and revised by the author. Student Mathematical Library, 22. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. ISBN 0-8218-2778-2
  • Hall, Brian C.: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. Graduate Texts in Mathematics, 222. Springer-Verlag, New York, 2003. ISBN 0-387-40122-9
  • Knapp, Anthony W.: Lie groups beyond an introduction. Second edition. Progress in Mathematics, 140. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002. ISBN 0-8176-4259-5