Graduierter Ring

In der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie ist ein graduierter Ring eine Verallgemeinerung des Polynomrings in mehreren Veränderlichen. Er ist in der algebraischen Geometrie ein Mittel, projektive Varietäten zu beschreiben.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

DefinitionBearbeiten

Ein graduierter Ring A ist ein Ring, der eine Darstellung als direkte Summe von abelschen Gruppen hat:

 

sodass  

Elemente von   werden homogene Elemente vom Grad   genannt. Jedes Element eines graduierten Ringes kann eindeutig als Summe von homogenen Elementen geschrieben werden.

Ein Ideal   wird homogen genannt, wenn:

 

Ist   ein Ideal des Ringes  , so kann der zum Ideal   assoziierte Ring   gebildet werden:

 

EigenschaftenBearbeiten

  • Ein Ideal ist genau dann homogen, wenn es von homogenen Elementen erzeugt werden kann.
  • Die Summe, das Produkt, der Schnitt und das Radikal homogener Ideale ist wieder homogen.
  • Ein homogenes Ideal   ist genau dann prim, wenn für alle homogenen   gilt:
 
  • Ist   noethersch und   ein Ideal, dann ist auch   noethersch.

Charakterisierung regulärer RingeBearbeiten

Ist   ein lokaler noetherscher Ring,   sein maximales Ideal,   und   eine  -Basis des Vektorraums  , so sind folgende Aussagen äquivalent:

(1)   ist regulär.
(2) Der durch
 
definierte Homomorphismus
 
ist ein Isomorphismus von graduierten  -Algebren.

BeispieleBearbeiten

  • Wenn   ein Körper ist, dann ist   auf natürliche Weise ein graduierter Ring.
  • Dieser Ring kann auch mit einer anderen Graduierung versehen werden:
Ist  , so ist   die Menge der quasihomogenen Polynome vom Grad  :
 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten