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In den mathematischen Teilgebieten der Kategorientheorie und der Abstrakten Algebra versteht man unter einem Subquotienten ein Quotientenobjekt eines Unterobjekts.

In der Sprache der Gruppentheorie ist ein Unterobjekt eine Untergruppe und ein Quotientenobjekt eine Quotientengruppe (auch Faktorgruppe genannt): Damit ist ein Subquotient einer Gruppe das Bild einer Untergruppe von unter einem Gruppenhomomorphismus.

Der Begriff Subquotient findet Anwendung u. a. bei der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen, insbesondere bei den sporadischen Gruppen.

DefinitionBearbeiten

GruppentheorieBearbeiten

Ist   eine Gruppe,   eine Untergruppe von   und   ein Normalteiler von  , in Zeichen

 

dann nennt man die Faktorgruppe (Quotientengruppe)   einen Subquotienten von  .

In der Literatur über sporadische Gruppen finden sich Formulierungen wie

  1.   involviert  [1]
  2.   is involved in  [2]

für denselben Sachverhalt.

ModultheorieBearbeiten

Sei   ein Ring mit Einselement. Bei den  -Moduln gibt es  -Untermoduln und  -Quotientenmoduln (Faktormoduln). Ganz analog wie bei den Gruppen sind die  -Subquotienten definiert.

Die Begriffsbildung gilt auch bei nicht-kommutativem Ring und links/rechts-seitigen Moduln über diesem Ring.

Eigenschaften und BeispieleBearbeiten

  • Unter den obigen Bezeichnungen ergeben sich die unmittelbaren Folgerungen:
  1. Ein Unterobjekt von   wie auch ein (homomorphes) Bild von   ist ein Subquotient von  
  2. Ist  , dann ist  
  3. Ist   und  , dann ist  

Endliche ObjekteBearbeiten

Haben alle Objekte endliche Kardinalitäten, dann gibt es Formeln, die diese mit Indices in Beziehung bringen, siehe zum Beispiel den Satz von Lagrange. Wegen   gilt mit obigen Bezeichnungen

 

und ist insbesondere   ein Teiler von   sowie  

HalbordnungBearbeiten

Für endliche Objekte ist die Relation »ist Subquotient von« eine Ordnungsrelation, und zwar eine Halbordnung.

ReflexivitätBearbeiten

  ist Subquotient von  .

TransitivitätBearbeiten

Subquotienten von Subquotienten sind Subquotienten.

Beweis für Gruppen

Sei   Subquotient von   und   der kanonische Homomorphismus. Ist nun  , also   Subquotient von  , dann ist zunächst

 

mit   jeweils surjektiv.

Nun sind die Urbilder   und   Untergruppen von  , die   enthalten. Ferner ist   und  , da alle   ein Urbild in   haben. Überdies ist   ein Normalteiler von  . Damit ist der Subquotient   von   als   ein Subquotient von  .[3]

AntisymmetrieBearbeiten

Sind zwei Objekte Subquotienten voneinander, so sind sie isomorph.

Beweis

Die Wechselbeziehung zwischen   und   lässt sich wegen  , also  , nur aufrechterhalten mit   und  , woraus   folgt.

Diskrete OrdnungBearbeiten

Die Ordnungsrelation »ist Subquotient von« ist bei endlichen Gruppen eine diskrete Ordnung, d. h. die von ihr erzeugte Ordnungstopologie ist eine diskrete Topologie. In Formeln und mit   und   als Relationszeichen:

Ist   dann gibt es ein   mit   derart, dass  

Ein solches   nennt man einen maximalen echten Subquotienten von  . Der Begriff wird bspw. bei der Anordnung der sporadischen Gruppen im Hasse-Diagramm benötigt.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Dieter Held: Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen (PDF, 131 kB) S. 19 (Memento des Originals vom 26. Juni 2013 im Internet Archive)   Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.mathematik.uni-mainz.de
  2. Robert Griess: The Friendly Giant. In: Inventiones Mathematicae. Band 69, 1982, S. 91, doi:10.1007/BF01389186 (Online bei digizeitschriften.de).
  3. Die Noether'schen Isomorphie-Sätze