Morphismus (Varietät)

Morphismus von Varietäten ist in der algebraischen Geometrie eine Abbildung von Varietäten mit bestimmten Regularitätseigenschaften

Ein Morphismus von Varietäten ist in der algebraischen Geometrie eine Abbildung von Varietäten mit bestimmten Regularitätseigenschaften. Ein Morphismus affiner Varietäten ist eine polynomiale Abbildung. Morphismen affiner Varietäten entsprechen eindeutig Homomorphismen ihrer Koordinatenringe. Die Definition kann auf quasiaffine, projektive und quasiprojektive Varietäten verallgemeinert werden, indem man Morphismen mit Hilfe regulärer Funktionen lokal definiert.

Morphismen abstrakter Varietäten sind lokale Garbenmorphismen.

(Bemerkung: Die Bezeichnung ist in der Literatur nicht einheitlich. Zum Teil wird auch für einen Morphismus der Ausdruck reguläre Abbildung verwendet, nicht zu verwechseln mit regulären Funktionen.)[1]

Definitionen

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Affine Varietäten

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  bezeichne den n-dimensionalen affinen Raum über einem Körper k.

Eine Teilmenge   ist eine algebraische Menge, wenn sie durch ein Ideal   bestimmt wird:

 

Eine algebraische Menge ist eine affine Varietät, wenn sie sich nicht als echte Vereinigung zweier algebraischer Mengen schreiben lässt.

Sind   und   algebraische Mengen bzw. affine Varietäten, so heißt eine Abbildung

 

Morphismus, wenn es Polynome   gibt, sodass für die Abbildung

 
 

gilt, dass

 

Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Morphismus, dessen Umkehrabbildung ebenfalls ein Morphismus ist. Es gibt bijektive Morphismen, die keine Isomorphismen sind.

Die Morphismen von   nach   bilden eine  -Algebra, den Koordinatenring, der mit   bezeichnet wird. Es gibt einen kanonischen Isomorphismus

 

wobei   das Verschwindungsideal von   ist:

 

Zusammenhang mit Algebrenhomomorphismen

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Ist   ein Morphismus

 

dann ist  

 

definiert durch

 

ein Homomorphismus von  -Algebren.

Diese Zuordnung ist ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der algebraischen Mengen in die Kategorie der reduzierten  -Algebren von endlichen Typ. Jede reduzierte  -Algebra ist isomorph zu einem  . Der Funktor ist eine Äquivalenz von Kategorien.

Die Zuordnung ist auch ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der affinen Varietäten in die Kategorie der nullteilerfreien  -Algebren von endlichen Typ. Auch dies ist eine Äquivalenz von Kategorien.

Affine, quasiaffine, projektive und quasiprojektive Varietäten

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Um die Definition auf quasiaffine, projektive und quasiprojektive Varietäten zu erweitern, werden zunächst reguläre Funktionen definiert, um dann einen Morphismus lokal zu definieren.

Reguläre Funktionen

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Ist   eine quasiaffine Varietät, so ist eine Funktion   regulär in einem Punkt  , wenn es eine offene Umgebung   mit   gibt und Polynome   gibt, sodass   nirgendwo auf   Nullstellen hat und  

Ist   eine quasiprojektive Varietät, so ist eine Funktion   regulär in einem Punkt  , wenn es eine offene Umgebung   mit   gibt und homogene Polynome   mit demselben Grad gibt, sodass   nirgendwo auf   Nullstellen hat und  

  und   sind keine Funktionen auf dem  , aber   ist eine wohldefinierte Funktion, da   und   homogen vom gleichen Grad sind.

Ist   eine quasiaffine oder eine quasiprojektive Varietät, so ist eine Funktion   regulär, wenn sie auf jedem Punkt in   regulär ist.

Wird der Körper   mit dem affinen Raum   identifiziert, so ist eine reguläre Funktion stetig in der Zariski-Topologie. (Umgekehrt ist aber nicht jede stetige Abbildung eine reguläre Funktion.)

Morphismen

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Im Folgenden sind   und   affine, quasiaffine, projektive oder quasiprojektive Varietäten.

Diese Objekte tragen auf natürliche Weise eine Topologie, nämlich die Zariski-Topologie, in der die abgeschlossenen Mengen genau die algebraischen Mengen sind.

Ein Morphismus von   nach   ist eine stetige Funktion  , die reguläre Funktionen von   auf reguläre Funktionen von   zurückholt. Genauer:

  • Eine stetige Funktion   ist ein Morphismus, wenn für alle offenen Teilmengen   gilt, dass, falls   eine reguläre Funktion ist, dann auch   regulär auf   ist.

Rationale Abbildung

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Eine rationale Abbildung ist ein Morphismus   von einer offenen Menge   nach  , sodass   keine Fortsetzung auf einer echten Obermenge von   hat. Ist  , so wird   regulär in   genannt. Ein Morphismus wird daher auch reguläre Abbildung genannt.

Beispiele

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Neilsche Parabel

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Die Neilsche Parabel in der affinen reellen Ebene

Ein Isomorphismus ist bijektiv und ein Homöomorphismus, aber ein bijektiver Homöomorphismus ist nicht unbedingt ein Isomorphismus: Ist   die Neilsche Parabel,

 

so ist die Abbildung

 
 

ein bijektiver Homöomorphismus, der kein Isomorphismus ist, da die Umkehrabbildung kein Morphismus ist.

Quasiaffine Varietäten

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Es ist nicht immer möglich, Morphismen von quasiaffinen Varietäten durch Einschränkungen ihrer affinen Obervarietät zu definieren, da nicht jeder Morphismus einer quasiaffinen Varietät eine Einschränkung eines Morphismus der Obervarietät ist. Die Varietät   ist quasiaffin. Der Morphismus:

 
 

ist ein Isomorphismus, für den es keinen Morphismus   gibt mit  

Es gilt

  und
 
 

Für den Morphismus   mit  , also   und   gilt hingegen  .

Es lässt sich ein Isomorphismus von   zu einer affinen Varietät angeben. Ist nämlich allgemein   ein irreduzibles Polynom und

 

die entsprechende quasiaffine Varietät, außerdem   die Hyperfläche

 

so ist die Abbildung

 
 

ein Isomorphismus.

Entfernt mal aber aus einer affinen Varietät eine Untervarietät der Kodimension größer als 1, so ist diese Varietät nicht affin.

Bilder von Morphismen

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Bilder quasiprojektiver Varietäten unter Morphismen sind im Allgemeinen keine quasiprojektiven Varietäten. Betrachtet man etwa den Morphismus

 

so erhält man als Bild  . Dies ist keine lokalabgeschlossene Menge in  . Das Bild ist jedoch stets eine konstruierbare Menge. Allgemein gilt, dass Morphismen konstruierbare Mengen auf konstruierbare Mengen abbilden.[2]

Einzelnachweise

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  1. Harris, Joe: Algebraic geometry. A first course. Corrected reprint of the 1992 original. Graduate Texts in Mathematics, 133. Springer-Verlag, New York, 1995, ISBN 0-387-97716-3
  2. Joe Harris: Algebraic Geometry. A First Course. Springer, New Your 1992, ISBN 3-540-97716-3, Theorem 3.16.

Literatur

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