Reduzierter Ring

Ein reduzierter Ring ist ein Ring, der außer dem Nullelement keine weiteren nilpotenten Elemente enthält. (Nilpotente Elemente ergeben entsprechend potenziert null.) Reduzierte Ringe spielen eine Rolle in der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie, das sind Teilgebiete der Mathematik. Ein reduziertes Schema ist ein Schema, dessen Halme reduziert sind.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

DefinitionenBearbeiten

Reduzierter RingBearbeiten

Ist   ein Ring, so ist   ein reduzierter Ring, falls für alle  

 

Das ist äquivalent zu:

 
  • Für alle   gilt:
 

Reduziertes IdealBearbeiten

Ein Ideal   eines Ringes   ist ein reduziertes Ideal, wenn gilt:

 

Reduziertes SchemaBearbeiten

Ein Schema   ist reduziert, wenn für jede offene Menge   der Ring   keine nilpotenten Elemente enthält. Das ist äquivalent dazu, dass für alle   die lokalen Ringe (Halme):

 

reduziert sind.

EigenschaftenBearbeiten

  • Ist   noethersch, so gilt:
  ist reduziert ist äquivalent dazu, dass in der Primärzerlegung seines Nullideals nur Primideale als Primärkomponenten auftreten (die minimalen Primideale).
Ein Ring   ist genau dann reduziert, wenn   für alle maximalen Ideale reduziert ist.

BeispieleBearbeiten

  •   und alle Polynomringe über Körpern sind reduziert.
  • Der Ring   ist reduziert.
  • Jeder nullteilerfreie Ring ist reduziert.
  •   enthält das nilpotente Element  , ist also nicht reduziert.
  •   ist reduziert.
  • Der Ring   ist nicht reduziert, er enthält das nilpotente Element  .
  • Ein Schema ist genau dann integer, wenn es irreduzibel und reduziert ist.

LiteraturBearbeiten