Primärzerlegung

mathematischer Satz

Die Primärzerlegung ist ein Begriff aus der kommutativen Algebra. In einer Primärzerlegung werden Untermoduln als Durchschnitt primärer Untermoduln dargestellt. Existenz und Eindeutigkeit können unter bestimmten Voraussetzungen bewiesen werden. Die Primärzerlegung eines Ideals ist eine Verallgemeinerung der Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren. Andererseits ist die Primärzerlegung die algebraische Grundlage für die Zerlegung einer algebraischen Varietät in ihre irreduziblen Komponenten.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition Bearbeiten

Ist   ein Untermodul eines Moduls   über einem Ring  , so ist eine Primärzerlegung von   eine Darstellung von   als Durchschnitt:

 

von  -primären Untermoduln  . (Die   sind Primideale des Rings  .)

Die Primärzerlegung heißt reduziert, wenn folgendes gilt:

  1. Für   ist  
  2.  

Bei einer reduzierten Primärzerlegung werden die   auch als Primärkomponenten bezeichnet.

Existenz Bearbeiten

Ist   ein endlich erzeugter Modul über einem noetherschem Ring  , so besitzt jeder echte Untermodul   von   aufgrund von noetherscher Induktion eine Zerlegung in irreduzible Untermoduln.[1] Da irreduzible Untermoduln von endlich erzeugten Modul über einem noetherschen Ring aber bereits primär sind[2], ist die Zerlegung in irreduzible Untermoduln bereits eine Primärzerlegung. Ersetzt man nun alle zum selben Primideal primären Komponenten durch deren Schnitt, der selbst primär ist[3], und lässt alle nicht benötigten Komponenten weg, so erhält man eine reduzierte Primärzerlegung. Insbesondere besitzt jedes Ideal   als Untermodul von   eine Zerlegung in primäre Ideale.

Eindeutigkeit Bearbeiten

Ist   ein Untermodul von einem Modul   über einem noetherschen Ring   und

 

eine reduzierte Primärzerlegung in  -primäre Untermoduln, so ist

 

  ist die Menge der assoziierten Primideale von  . Insbesondere ist die Menge der bei einer reduzierten Primärzerlegung auftretenden Primideale eindeutig festgelegt.

Ist   ein minimales Element der Menge  , so ist   gleich  . Die zu minimalen Elementen von   gehörigen Primärkomponenten sind durch   und   eindeutig festgelegt.

Gehört eine Primärkomponente   nicht zu einem minimalen Element von  , so wird   eine eingebettete Primärkomponente genannt. Diese sind nicht unbedingt eindeutig (siehe unten).

Satz von Lasker-Noether Bearbeiten

Die Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen der Primärzerlegung in noetherschen Ringen nennt man auch Satz von Lasker-Noether. Er lautet

Jedes Ideal   eines noetherschen Ringes   gestattet eine reduzierte Primärzerlegung  . Die Primradikale   der   sind eindeutig bestimmt; es handelt sich genau um die Primideale der Form  , wobei   alle Elemente aus   durchläuft.

Dieser Satz wurde zunächst von Emanuel Lasker, der vor allem als Schachweltmeister bekannt ist, für Polynomringe   über einem Körper bewiesen. Emmy Noether hat dann erkannt, dass sich die Argumente auf die aufsteigende Kettenbedingung zurückführen lassen und daher allgemeiner für noethersche Ringe gelten. Das erklärt die Benennung dieses Satzes.[4] Die Verallgemeinerung auf endlich erzeugte Moduln über einem noetherschen Ring ist dann Routine.

Sätze Bearbeiten

Ist   eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge eines Ringes   und

 

eine reduzierte Primärzerlegung eines Untermoduls   mit  -primären Untermoduln   von  , so ist

 

eine reduzierte Primärdarstellung von  .

Beispiele Bearbeiten

In den ganzen Zahlen Bearbeiten

Ist zum Beispiel in den ganzen Zahlen

 

mit Primzahlen  , so ist die Primärzerlegung des von   erzeugten Hauptideals

 .

In einem Koordinatenring Bearbeiten

Ist   ein Körper, so hat das Ideal

 

die Primärzerlegungen:

 

  ist als Potenz eines maximalen Ideals primär; im Ring   ist jeder Nullteiler nilpotent, daher ist das Ideal   auch primär. Sowohl   als auch   sind  -primär. Dieses Beispiel zeigt, dass die Primärzerlegung selbst nicht eindeutig ist, wohl aber die assoziierten Primideale.

Literatur Bearbeiten

  • Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6
  • Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1997, Satz C.32., S. 235
  2. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1997, Satz C.30., S. 235
  3. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1997, Korollar C.28., S. 234
  4. O. Zariski, P. Samuel: Commutative Algebra I, Springer-Verlag (1975), ISBN 3-540-90089-6