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Neilsche Parabeln für verschiedene Werte von a.

Die Neil’sche Parabel (nach dem englischen Mathematiker William Neile benannt) oder semikubische Parabel[1] ist eine spezielle ebene algebraische Kurve, die durch eine Gleichung der Form

  • (A)

beschrieben werden kann. Auflösen nach ergibt die explizite Form

  • (E1)

die Anlass für die Bezeichnung semikubische Parabel liefert.

(Eine gewöhnliche Parabel kann durch eine Gleichung beschrieben werden.)

Löst man (A) nach auf, so erhält man die Gleichung

  • (E2)

Mit Hilfe der ersten Gleichung erkennt man, dass

  • (P)

eine Parameterdarstellung der Neilschen Parabel ist.

William Neile hatte erstmals die Bogenlänge dieser Kurve berechnet, die sog. Rektifikation, und dies 1657 bekannt gemacht[2][3]. Aufgrund der Probleme bei der Rektifizierung von Ellipsen und Parabeln vermutete man zu dieser Zeit, dass der Kreis und die Gerade die einzigen rektifizierbaren algebraischen Kurven seien.

Die Neil’sche Parabel ist rational, es existiert also eine rationale Abbildung mit einer inversen rationalen Abbildung, die die Neil'sche Parabel auf die projektive Gerade abbildet.

Eigenschaften einer Neilschen ParabelBearbeiten

ÄhnlichkeitBearbeiten

  • Jede Neilsche Parabel   ist zur Neilschen Einheitsparabel   ähnlich.

Beweis: Die Ähnlichkeitsabbildung   (Streckung am Ursprung) führt die Neilsche Parabel   in die Kurve   mit   über.

SingularitätBearbeiten

  • Die Parameterdarstellung   ist überall außer im Punkt   regulär. Die Kurve besitzt im Nullpunkt eine Singularität (Spitze).

Der Beweis folgt aus dem Tangentenvektor  . Nur für   ergibt sich der Nullvektor.

 
Neilsche Parabel: Tangente

TangentenBearbeiten

Für die Neilsche Einheitsparabel   ergibt sich durch Differentiation die Gleichung der Tangente in einem Punkt   des oberen Astes:

  •  

Diese Tangente schneidet die Kurve in genau einem weiteren Punkt des unteren Astes mit den Koordinaten[4]

  •  

(Beim Nachrechnen sollte man berücksichtigen, dass   ein doppelter Schnittpunkt der Tangente mit der Kurve ist.)

BogenlängeBearbeiten

Um die Bogenlänge einer parametrisierten Kurve   zu bestimmen, muss man das unbestimmte Integral   lösen. Für die Neilsche Parabel   ist

 

(Das Integral lässt sich mit Hilfe der Substitution   lösen.)

Beispiel: Für   (Neilsche Einheitsparabel) und der oberen Grenze  , d. h. bis zum Punkt  , ist die Länge  .

Evolute der EinheitsparabelBearbeiten

  • Die Evolute der Parabel   ist eine in x-Richtung um 1/2 verschobene Neilsche Parabel:  

PolarkoordinatenBearbeiten

Um die Darstellung der Neilschen Parabel   in Polarkoordinaten zu finden, schneidet man die Ursprungsgerade   mit der Kurve. Für   gibt es einen vom Nullpunkt (Spitze) verschiedenen Punkt:  . Der Abstand dieses Punktes zum Nullpunkt ist  . Mit   und   ergibt sich[5]

  •  
 
Neilsche Parabel und kubische Parabel (grün)

Projektive Äquivalenz zur kubischen ParabelBearbeiten

Bildet man die Neilsche Einheitsparabel   mit der projektiven Abbildung   (involutorische Perspektivität mit der Achse   und Zentrum   ) ab, so erhält man die Kurve  , also die kubische Parabel  . Die Spitze (Nullpunkt) der Neilschen Parabel wird mit dem Fernpunkt der y-Achse vertauscht.

Diese Eigenschaft lässt sich auch an der Darstellung der Neilschen Parabel in homogenen Koordinaten erkennen: Ersetzt man in (A)   (die Ferngerade hat die Gleichung  ) und multipliziert mit   erhält man die Kurvengleichung

  • in homogenen Koordinaten:  

Wählt man nun die Gerade   als Ferngerade und setzt   erhält man die (affine) Kurve  

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Lexikon der Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1979. S 461, rationale Kurve.
  2. August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten , S. 2
  3. Clifford A. Pickover: The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics, Sterling Publishing Company, 2009, ISBN 9781402757969, S. 148
  4. August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten , S. 26
  5. August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten , S. 10