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Evolute

Ortskurve der Mittelpunkte der Krümmungskreise einer Kurve
Die Evolute (rot) einer Kurve (Parabel, blau) ist der geometrische Ort aller Krümmungsmittelpunkte oder auch die Einhüllende ihrer Normalen

Die Evolute einer ebenen Kurve ist

Oder auch:

Evoluten stehen in engem Zusammenhang mit den Evolventen einer gegebenen Kurve, denn es gilt: Eine Kurve ist die Evolute jeder ihrer Evolventen.

Inhaltsverzeichnis

Evolute einer parametrisierten KurveBearbeiten

Beschreibt   eine reguläre Kurve in der euklidischen Ebene, deren Krümmung nirgends 0 ist, und sind   der Krümmungskreisradius und   die zum Krümmungsmittelpunkt weisende Einheitsnormale, so ist

  •  

die Evolute der gegebenen Kurve.

Ist   und  , so ist

  •   und
 .

Eigenschaften der EvoluteBearbeiten

 
Evolute: Die Normale in P ist Tangente in M.

Um Eigenschaften einer regulären Kurve herzuleiten, ist es vorteilhaft, die Bogenlänge   der gegebenen Kurve als Parameter zu verwenden. Denn dann gilt (s. Frenetsche Formeln)   und  . Hieraus folgt für den Tangentenvektor der Evolute  :

 

Aus dieser Gleichung ergeben sich die folgenden Eigenschaften einer Evolute:

  • Die Evolute ist in Punkten mit   nicht regulär, d. h., sie hat in Punkten maximaler oder minimaler Krümmung Spitzen (s. Parabel, Ellipse, Nephroide).
  • Die Normalen der gegebenen Kurve sind Tangenten der Evolute, d. h.: Die Evolute ist die Einhüllende der Normalen der gegebenen Kurve.
  • In Abschnitten der gegebenen Kurve, in denen   bzw.   gilt, ist sie eine Evolvente ihrer Evolute. (Im Bild ist die blaue Parabel eine Evolvente der roten Neilschen Parabel.)

Beweis der letzten Eigenschaft:
In dem betrachteten Abschnitt sei  . Eine Evolvente der Evolute lässt sich folgendermaßen beschreiben:

 

wobei   eine Fadenverlängerung bedeutet (s. Evolvente).
Mit   und   ergibt sich

 

D. h., für die Fadenverlängerung   erhält man die gegebene Kurve wieder.

  • Parallele Kurven besitzen dieselbe Evolute.

Beweis: Eine zur gegebenen Kurve im Abstand   parallele Kurve besitzt die Parameterdarstellung   und den Krümmungsradius (s. Parallelkurve)  . Die Evolute der Parallelkurve ist also  

BeispieleBearbeiten

Evolute der NormalparabelBearbeiten

Die Normalparabel lässt sich durch die Parameterdarstellung   beschreiben. Nach den obigen Formeln ergeben sich für die Evolute die folgenden Gleichungen:

 
 

Dies ist die Parameterdarstellung einer Neilschen Parabel.

 
Evolute (rot) einer Ellipse
 
Die Evolute der großen Nephroide (blau) ist die kleine Nephroide (rot)

Evolute einer EllipseBearbeiten

Für die Ellipse mit der Parameterdarstellung   ergibt sich:[1]

 
 

Diese Gleichungen beschreiben eine schiefe Astroide. Elimination von   liefert die implizite Darstellung

  •  

Evoluten bekannter KurvenBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. R.Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Band 1, Springer-Verlag, 1955, S. 268.

LiteraturBearbeiten

  • K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und … Springer-Verlag, 2012, ISBN 3-8348-8346-8, S. 30.
  • Kleine Enzyklopädie Mathematik. Harry Deutsch Verlag, 1977, ISBN 3-87144-323-9, S. 475.

WeblinksBearbeiten

  Commons: Evolute – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien