In der Mathematik bezeichnet Einhüllende (auch Hüllkurve oder Enveloppe, nach französisch enveloppe ‚Umhüllung‘) eine Kurve, die eine Kurvenschar einhüllt. Das heißt, die Enveloppe berührt jede Scharkurve einmal. Hüllkurven entstehen unter anderem bei bewegten Objekten, z. B. beim Öffnen und Schließen eines Garagentores. Jede ebene Kurve ist Hüllkurve ihrer Tangenten.

  • Geradenschar
  • Zugehörige Enveloppe
  • Die Evolute E einer ebenen Kurve C ist Hüllkurve ihrer Normalen. C ist dann die Evolvente von E.[1]

    DefinitionBearbeiten

    Eine Kurve   ist Enveloppe einer Kurvenschar  , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

    1. Die Kurve   wird in jedem ihrer Punkte von einer der Kurven   berührt.
    2. Die Kurve   berührt jedes Element der Kurvenschar   an einer Stelle xh.

    Berechnung von HüllfunktionenBearbeiten

    1. Man leitet die Funktion f(x,t) nach t ab und bestimmt die Nullstellen t0 in Abhängigkeit von x dieser Ableitung.
    2. In f(x,t) setzt man t0 für t ein und erhält einen Kandidaten h(x) für die Hüllfunktion.
    3. Man ermittelt alle xh, für die H ein Element von Kt berührt.
    4. Man weist nach, dass alle Elemente von Kt die Kurve H an mindestens einer Stelle berühren.

    BeispieleBearbeiten

    Dreidimensionale HüllkurveBearbeiten

     
    Schwarz: einige der Geraden aus der Geradenschar; Rot: Enveloppe; Grün: Konturlinie der durch   definierten Fläche; Violett: Schnittkurve dieser Fläche mit einer der Ebenen  ;

    Gegeben sei die durch   parametrisierte und die Gleichung

     

    definierte Geradenschar.

    Wie oben dargestellt wurde, ist die Enveloppe dieser Geradenschar durch die Gleichungen

     

    gegeben. Elimination von   liefert die parameterfreie Darstellung der Enveloppe:

     

    WurfparabelnBearbeiten

     
    Hüllkurve der Wurfparabeln mit gemeinsamer Anfangsgeschwindigkeit.

    Ein weiteres Beispiel ist die Hüllkurve von Wurfparabeln. Details sind unter Einhüllende Wurfparabel angegeben.

    AnwendungBearbeiten

    Hüllkurven eignen sich gut, um den benötigten Platz für bewegte Gegenstände zu beschreiben. Man kann also mit Hüllkurven feststellen, ob man einen Schrank um eine Ecke im Flur bekommt,[2] oder wie schmal eine Straße in einer Kurve sein darf, und wie diese aussehen muss, damit ein LKW sicher auf ihr fahren kann. Für die meisten technischen Anwendungen eignen sich numerische Verfahren am besten.

    In den Wirtschaftswissenschaften wird bei sich über die Zeit ändernden Kostenfunktionen auch von oberer und unterer Einhüllender gesprochen. D. h. zwischen diesen beiden liegt das gesamte Spektrum der Kostenverlaufskurven, oder anders: zu jedem beliebigen Zeitpunkt realisiert sich innerhalb der oberen und unteren Einhüllenden die wahre Kostenfunktion.

    Einhüllende von FlächenBearbeiten

    Flächen lassen sich auch als Einhüllende von Flächenscharen beschreiben. z. B.:

    LiteraturBearbeiten

    • Richard Courant, Fritz John: Introduction to Calculus and Analysis II/1. Reprint of the 1989 Edition, Springer-Verlag Berlin, 1991, ISBN 3-540-66569-2.
    • Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Vol. 3. 2. ed. Publish or Perish, Houston TX 1979, ISBN 0-914098-82-9.
    • W. I. Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik, Teil II. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1990, ISBN 3-326-00029-4.

    EinzelnachweiseBearbeiten

    1. mathematik.bildung-rp.de (PDF) oder als Kaustik in einer Kaffeetasse.
    2. jan.orend.lg-bs.de (Memento vom 8. Januar 2006 im Internet Archive)