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Normalenvektor

(Weitergeleitet von Normale)

In der Geometrie ist ein Normalenvektor, auch Normalvektor, ein Vektor, der orthogonal (d. h. rechtwinklig, senkrecht) auf einer Geraden, Kurve, Ebene, (gekrümmten) Fläche oder einer höherdimensionalen Verallgemeinerung eines solchen Objekts steht. Eine Gerade, die diesen Vektor als Richtungsvektor besitzt, heißt Normale. Ein Normaleneinheitsvektor oder eine Einheitsnormale ist ein Normalenvektor der Länge 1.

In diesem Artikel wird zunächst der Fall von Geraden in der Ebene und von Ebenen im dreidimensionalen Raum behandelt (Lineare Algebra und analytische Geometrie), dann der Fall von Kurve in der Ebene und von Flächen im Raum (Differentialgeometrie).

Inhaltsverzeichnis

Lineare Algebra und analytische GeometrieBearbeiten

In diesem Abschnitt werden die Variablen für Vektoren, wie in der Schulmathematik üblich, durch Vektorpfeile gekennzeichnet.

Normale und Normalenvektor einer GeradenBearbeiten

Ein Normalenvektor einer Geraden   in der Ebene ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der senkrecht auf dieser Geraden steht, also der Richtungsvektor einer Geraden, die senkrecht auf   steht, sprich einer Orthogonalen oder Normalen zu  .

Hat   den Richtungsvektor  , so sind die beiden Vektoren   und   Normalenvektoren. Durchläuft man die Gerade in der Richtung von  , so weist   nach links und   nach rechts.

Ist die Gerade in der Steigungsform durch die Gleichung

 

gegeben, so ist der Vektor   ein Richtungsvektor der Geraden und   und   sind Normalenvektoren. Für   hat also jede Normale die Steigung  . Ist  , also   horizontal, so ist jede Normale vertikal, hat also eine Gleichung der Form  .

Ist die Gerade in der allgemeinen Form

 

gegeben, so ist   ein Normalenvektor.

Aus einem Normalenvektor   lässt sich ein Normaleneinheitsvektor   berechnen, indem   durch seine Länge (Norm, Betrag) dividiert wird. Der Vektor   wird mithin normiert.

 

Der zweite Normaleneinheitsvektor   ergibt sich durch Multiplikation des obigen Normaleneinheitsvektors mit  . Jeder Normalenvektor kann durch Multiplikation eines Normaleneinheitsvektores mit einer reellen Zahl ungleich null gebildet werden.

Normale und Normalenvektor einer EbeneBearbeiten

 
Zwei Normalenvektoren auf einer Ebene

Ein Normalenvektor einer Ebene   im dreidimensionalen Raum ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht, also der Richtungsvektor einer Geraden, die senkrecht auf   steht, sprich einer Orthogonalen oder Normalen zu  .

Ist die Ebene in der Koordinatenform durch die Gleichung

 

gegeben, so ist   ein Normalenvektor.

Ist   durch zwei aufspannende Vektoren   und   gegeben (Punkt-Richtungs-Form oder Parameterform), führt die Bedingung, dass der Normalenvektor   senkrecht auf   und   steht, auf ein lineares Gleichungssystem für die Komponenten   von  :

 

Jede von   verschiedene Lösung liefert einen Normalenvektor.

Eine andere Möglichkeit, Normalenvektoren zu bestimmen, bietet das Kreuzprodukt:

 

ist ein Vektor, der senkrecht auf   und   steht, und   bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.

Hat   die Gleichung

 ,

so ist   ein nach oben weisender und   ein nach unten weisender Normalenvektor.

Wie im Fall der Geraden in der Ebene erhält man aus einem Normalenvektor einen Normaleneinheitsvektor, indem man ihn durch seine Länge dividiert, einen zweiten durch Multiplikation mit   und alle andern Normalenvektor durch Multiplikation mit reellen Zahlen.

Eine Ebene wird durch einen Normalenvektor sowie einen auf der Ebene liegenden Punkt eindeutig bestimmt, siehe Normalenform und hessesche Normalform.

Normalenvektoren von Kurven und FlächenBearbeiten

Ebene KurvenBearbeiten

In der Analysis und in der Differentialgeometrie ist der Normalenvektor zu einer ebenen Kurve (in einem bestimmten Punkt) ein Vektor, der auf dem Tangentialvektor in diesem Punkt orthogonal (senkrecht) steht. Die Gerade in Richtung des Normalenvektors durch diesen Punkt heißt Normale, sie ist orthogonal zur Tangente.

Ist die Kurve als Graph einer differenzierbaren Funktion   gegeben, so hat die Tangente im Punkt   die Steigung  , die Steigung der Normalen beträgt also

 

Die Normale im Punkt   ist dann durch die Gleichung

 

also durch

 

gegeben.

Ist die ebene Kurve in Parameterform gegeben,  , so ist   ein Tangentialvektor im Punkt   und   ein nach rechts weisender Normalenvektor. Hier bezeichnet, wie in der Differentialgeometrie üblich, der Punkt die Ableitung nach dem Kurvenparameter.

Bei Raumkurven bilden die Normalenvektoren in einem Punkt (wie im Fall der Geraden im Raum) einen zweidimensionalen Untervektorraum. In der elementaren Differentialgeometrie wählt man einen Einheitsvektor aus, der in die Richtung zeigt, in die die Kurve gekrümmt ist. Diesen nennt man Hauptnormalen(einheits)vektor, siehe Frenetsche Formeln.

Flächen im dreidimensionalen RaumBearbeiten

 
Zur Veranschaulichung des Normalenvektors

Entsprechend ist der Normalenvektor einer gekrümmten Fläche in einem Punkt der Normalenvektor der Tangentialebene in diesem Punkt.

Ist die Fläche durch die Parameterdarstellung

 

gegeben, so spannen die beiden Vektoren

  und  

die Tangentialebene im Punkt   auf. (Hier wird vorausgesetzt, dass die Fläche bei   regulär ist, also dass   und   linear unabhängig sind.) Ein Normalenvektor im Punkt   ist ein Vektor, der senkrecht auf   und   steht, z. B. der durch das Kreuzprodukt gegebene und dann normierte Hauptnormalenvektor

 

Hier bezeichnen die senkrechten Striche die euklidische Norm des Vektors.

Ist die Fläche implizit durch eine Gleichung gegeben,

 ,

wobei   eine differenzierbare Funktion ist, so ist der Gradient

 

ein Normalenvektor der Fläche im Punkt   (vorausgesetzt, dass er dort nicht verschwindet).

Ist die Fläche als Graph einer differenzierbaren Funktion   gegeben, so ist

 

ein nach oben weisender Normalenvektor im Punkt  . Dies erhält man, indem man verwendet, dass die Abbildung   eine Parametrisierung ist oder dass die Fläche durch die Gleichung

 

dargestellt wird.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Der Begriff des Normalenvektors lässt sich verallgemeinern auf

  1. affine Unterräume (verallgemeinerte Ebenen) in euklidischen Räumen höherer Dimension (Mathematik) (insbesondere auf Hyperebenen),
  2. Flächen, Hyperflächen und Untermannigfaltigkeiten in euklidischen Räumen höherer Dimension,
  3. Flächen, Hyperflächen und Untermannigfaltigkeiten von Riemannschen Mannigfaltigkeiten,
  4. Nichtglatte Objekte, wie konvexe Körper und rektifizierbare Mengen.

AnwendungenBearbeiten

Im Bereich der Computergrafik werden Normalenvektoren unter anderem genutzt, um festzustellen, ob eine Fläche dem Benutzer zugewandt ist oder nicht, um letztere von der Bildberechnung auszuschließen (Back-Face Culling). Des Weiteren werden sie zur Berechnung von Lichteinfall und Reflexionen benötigt.