Kardioide

spezielle Rollkurve eines Kreispunktes auf einem Kreis gleichen Radius

Die Kardioide oder Herzkurve (von griechisch καρδία ‚Herz‘; englisch:Cardioid) ist eine ebene Kurve, genauer gesagt eine algebraische Kurve 4. Ordnung, die ihren Namen wegen ihrer Form erhielt.

Kardioide erzeugt durch einen rollenden Kreis auf einem Kreis mit demselben Radius.
Erzeugung einer Kardioide durch Abrollen eines Kreises auf einem Kreis mit gleichem Radius

Lässt man auf der Außenseite eines gegebenen festen Kreises mit Mittelpunkt M und Radius  einen weiteren Kreis mit dem gleichen Radius abrollen und betrachtet man dabei einen bestimmten Punkt P auf dem abrollenden Kreis, so beschreibt P eine Kardioide. Damit erweist sich die Kardioide als spezielle Epizykloide.

Gleichungen der KardioideBearbeiten

Ist   der gemeinsame Radius der erzeugenden Kreise mit den Mittelpunkten  ,   der Rollwinkel und der Nullpunkt der Startpunkt (s. Bild), so erhält man die

  • Parameterdarstellung:
 
  .

Hieraus ergibt sich die Darstellung in

 

Mit der Substitution   und   erhält man nach Beseitigung der Wurzel die implizite Darstellung in

  .
Beweis der Parameterdarstellung

Der Beweis der Parameterdarstellung lässt sich mit Hilfe komplexer Zahlen und ihrer Darstellung als Gaußsche Zahlenebene leicht führen. Die Rollbewegung des schwarzen Kreises auf dem blauen Kreis kann man in die Hintereinanderausführung zweier Drehungen zerlegen. Die Drehung eines Punktes   (komplexe Zahl) um den Nullpunkt   mit dem Winkel   wird durch die Multiplikation mit   bewirkt.

Die Drehung   um den Punkt   ist   .
Die Drehung   um den Punkt   ist  .

Ein Kardioidenpunkt   entsteht durch Drehung des Nullpunktes um   und anschließende Drehung um   jeweils um den Winkel  :

 .

hieraus ergibt sich

 

(Es wurden die Formeln   benutzt. Siehe Formelsammlung Trigonometrie.)

Flächeninhalt, Kurvenlänge und KrümmungsradiusBearbeiten

Für die obige Kardioide ist

  • der Flächeninhalt  , und
  • die Kurvenlänge  .
  • Krümmungsradius  

Die Beweise verwenden jeweils die Polardarstellung der obigen Kardioide. Formeln für den Flächeninhalt und die Kurvenlänge findet man z. B. hier.[1]

Beweis für den Flächeninhalt
  .
Beweis für die Kurvenlänge
  .
Beweis für den Krümmungsradius

Der Krümmungsradius   einer Kurve in Polarkoordinaten   ist (s. Krümmung)

 

Für die Kardioide   ergibt sich

 

Eigenschaften der KardioideBearbeiten

 
Sehnen einer Kardioide

Sehnen durch die SpitzeBearbeiten

S1: Die Sehnen durch die Spitze der Kardioide haben alle dieselbe Länge   .
S2: Die Mittelpunkte der Sehnen durch die Spitze liegen auf dem festen Erzeugerkreis (s. Bild).
Beweis zu S1

Die Punkte   liegen auf einer Sehne durch die Spitze (=Nullpunkt). Es ist

 
  .
Beweis zu S2

Für den Beweis wird die Darstellung in der gaußschen Zahlenebene (s. o.) verwendet. Für die Punkte

 
 ,

ist

 

der Mittelpunkt der Sehne   und liegt auf dem Kreis der Gaußschen Zahlenebene mit Mittelpunkt   und Radius   (s. Bild).

 
Die Kardioide entsteht durch Spiegelung einer Parabel am Einheitskreis (gestrichelt)

Kardioide als inverse Kurve einer ParabelBearbeiten

  • Die Kardioide ist das Bild einer Parabel unter einer Kreisspiegelung (Inversion), bei der das Inversionszentrum im Brennpunkt der Parabel liegt (s. Bild).

Im Beispiel des Bildes haben die Erzeugerkreise den Radius  . Die gespiegelte Parabel genügt in x-y-Koordinaten der Gleichung  .

 
Kardioide als Einhüllende einer Kreisschar

Kardioide als Einhüllende einer KreisscharBearbeiten

Bildet man bei der Inversion der Parabel im vorigen Abschnitt die Tangenten mit ab, so gehen sie als Geraden in eine Schar von Kreisen durch das Inversionszentrum (Nullpunkt) über. Eine genauere Untersuchung (Nachrechnen) zeigt: Die Mittelpunkte der Kreise liegen alle auf dem festen Erzeugerkreis (cyan) der Kardioide. Der Erzeugerkreis ist das Bild der Leitlinie der Parabel. Da sich auf der Leitlinie einer Parabel die Tangenten senkrecht schneiden und die Kreisspiegelung winkeltreu ist, schneiden sich Kreise der Kreisschar auf dem Erzeugerkreis auch senkrecht.

Die hier beschriebene Eigenschaft der Kreisschar erlaubt eine einfache Methode um eine Kardioide zu zeichnen:

1) Wähle einen Kreis k und einen Punkt O darauf,
2) zeichne Kreise durch O mit Mittelpunkte auf k,
3) zeichne die Einhüllende dieser Kreise.
Beweis mit Einhüllenden-Bedingung

Es sei durch

 

eine Schar von impliziten Kurven mit dem Scharparameter   gegeben. Die Einhüllende (oder Hüllkurve) besteht aus Punkten  , die für festes   Lösungen des i.a. nicht linearen Gleichungssystems

  •   (Einhüllenden-Bedingungen)

sind. (  bedeutet die partielle Ableitung nach  , siehe Einhüllende)

Es sei k der Kreis mit Mittelpunkt   und Radius  . k hat die Parameterdarstellung  . Die Kreisschar, deren Mittelpunkte auf k liegen und die durch den Punkt   gehen, lassen sich implizit durch

 

beschreiben. Multipliziert man die Klammern aus, ergibt sich

  Die 2. Scharbedingung ist
 

Man prüft leicht nach, dass die Punkte der Kardioide mit der Parameterdarstellung

 

das nicht lineare Gleichungssystem erfüllt. Der Scharparameter   ist hier identisch mit dem Winkel-Parameter der Kardioide.

Kardioide als Einhüllende einer GeradenscharBearbeiten

 
Kardioide als Einhüllende einer Geradenschar

Eine ähnlich einfache Methode, eine Kardioide als Einhüllende einer Geradenschar zu konstruieren, geht auf L. Cremona zurück:

  1. Zeichne einen Kreis, unterteile ihn gleichmäßig mit   Punkten (s. Bild) und nummeriere diese fortlaufend.
  2. Zeichne die Sehnen:  . (Man kann es so ausdrücken: Der zweite Punkt der Sehne bewegt sich mit doppelter Geschwindigkeit.)
  3. Die Einhüllende dieser Strecken ist eine Kardioide.
 
Kardioide: Erzeugung nach Cremona, zum Beweis
Beweis

Im Folgenden werden die trigonometrischen Formeln für   verwendet. Um die Rechnungen einfach zu halten, wird der Beweis für die Kardioide mit der Polardarstellung   geführt (s. Abschnitt anders orientierte Kardioiden).

Gleichung der Tangente
an die Kardioide mit der Polardarstellung  :
Aus der Parameterdarstellung
 
 

berechnet man zunächst den Normalenvektoren  . Die Gleichung der Tangente   ist dann:

 

Mit Hilfe der trigonometrischen Formeln und der anschließenden Division durch   lässt sich die Gleichung der Tangente so schreiben:

  •  
Gleichung der Sekante
an den Kreis mit Mittelpunkt   und Radius  : Für die Gleichung der Sekante durch die beiden Punkte   ergibt sich:
 

Mit Hilfe der trigonometrischen Formeln und der anschließenden Division durch   lässt sich die Gleichung der Sekante so schreiben:

  •  

Die beiden Winkel   haben zwar verschiedene Bedeutungen (s. Bild), für   ergibt sich aber dieselbe Gerade. Also ist auch jede obige Sekante an den Kreis eine Tangente der Kardioide und

  • die Kardioide ist die Einhüllende der Kreissehnen.

Bemerkung:
Der Beweis lässt sich auch mit den Einhüllen-Bedingungen einer impliziten Kurvenschar (s. vorigen Abschnitt) führen. Dabei beschreibt

  die Schar der Sekanten an den Kreis (s. o.)
 

Beide Gleichungen sind für festen Parameter t Geradengleichungen. Der Schnittpunkt

 

der Geraden ist ein Punkt der Kardioide mit der Polardarstellung  . (Bei Umformungen müssen immer wieder trigonometrische Formeln (s. o.) benutzt werden.)

 
Zu Kardioide als Kaustik:
Lichtquelle  , Lichtstrahl  , reflektierter Strahl  
 
Kardioide als Kaustik eines Kreises mit Lichtquelle (rechts) auf dem Kreis

Kardioide als Kaustik eines KreisesBearbeiten

Die vorigen Überlegungen liefern auch einen Beweis dafür, dass als Kaustik eines Kreises mit der Lichtquelle auf dem Kreis eine Kardioide auftritt.

  • Gehen in der Ebene von einem Punkt   eines spiegelnden Kreises Lichtstrahlen gemäß der Abbildung aus, so sind die im Innern des Kreises reflektierten Lichtstrahlen die Tangenten einer Kardioide. (s. Abschnitt Kardioide in Optik und Akustik)
Beweis

Der Kreis habe (wie im vorigen Abschnitt) den Mittelpunkt   und den Radius  . Der Kreis hat dann die Parameterdarstellung

 

Die Tangente im Kreispunkt   hat den Normalenvektor  . Der reflektierte Strahl muss dann (laut Abbildung) den Normalenvektor   haben und durch den Kreispunkt   gehen. Der reflektierte Strahl liegt also (s. vorigen Abschnitt) auf der Gerade mit der Gleichung

 

die wiederum Tangente an die Kardioide mit der Polardarstellung

 

des vorigen Abschnitts ist.

Bemerkung: Mehrfachreflexionen am Kreis werden bei diesen Überlegungen üblicherweise nicht berücksichtigt.

Kardioide als Fußpunktkurve eines KreisesBearbeiten

 
Kardioide: Lotfußpunkte auf Kreistangenten

Die Cremona-Erzeugung einer Kardioide sollte nicht verwechselt werden mit der folgenden Erzeugung:

Es sei ein Kreis   und ein fester Punkt   auf diesem Kreis gegeben. Es gilt:

  • Die Lotfußpunkte vom Punkt   auf die Tangenten des Kreises   bilden eine Kardioide.

Eine Kardioide ist somit eine spezielle Fußpunktkurve (engl.: pedal curve) eines Kreises.

Beweis

In der x-y-Ebene habe der Kreis   den Mittelpunkt   und den Radius  . Die Tangente im Kreispunkt   hat die Gleichung

 

Der Lotfußpunkt von   auf die Tangente ist der Punkt   mit dem noch unbekannten Abstand   zum Nullpunkt  . Einsetzen in die Tangentengleichung ergibt

 

die Polardarstellung einer Kardioide.

Bemerkung: Liegt der Punkt   nicht auf dem Kreis  , so entsteht eine pascalsche Schnecke (s. nächsten Abschnitt).

Kardioide als pascalsche SchneckeBearbeiten

Eine pascalsche Schnecke ist eine ebene Kurve mit einer Polardarstellung  . Im Fall   ergibt sich eine Kardioide. Also gilt:

 
Kardioide auf der Glasur eines Schmortopfes

Kardioide in Optik und AkustikBearbeiten

  • Die Lichterscheinung (Kaustik) in einer Kaffeetasse, die von Licht aus einer am Tassenrand platzierten Lichtquelle getroffen wird, ist eine Kardioide. Die Kaustik, die von parallel eintreffendem Licht erzeugt wird, wird allerdings durch eine andere Kurve (Nephroide) beschrieben; in anderen Fällen entsteht eine Mischform.

In der Tontechnik wird das Polardiagramm der Richtcharakteristik einer Kardioide mit Niere bezeichnet, auch wenn es eine Herzkurve darstellt.

Evolute einer KardioideBearbeiten

 
Evolute (grün) einer Kardioide (rot)
magenta: ein Punkt P, sein Krümmungsmittelpunkt M und der zugehörige Krümmungskreis

Die Evolute einer ebenen Kurve ist der geometrische Ort aller Krümmungsmittelpunkte dieser Kurve. Für eine parametrisierte Kurve   mit Krümmungsradius   hat die Evolute die Parameterdarstellung

 

wobei   die geeignet orientierte Einheitsnormale ist. (  zeigt zu dem Krümmungsmittelpunkt hin.)

Für eine Kardioide gilt:

  • Die Evolute einer Kardioide ist wieder eine Kardioide ein Drittel so groß (siehe Bild).
Beweis

Für die Kardioide mit der Parameterdarstellung

 
 

ist die Einheitsnormale

 

und der Krümmungskreisradius (s. oben)

 

Also hat die Evolute die Parameterdarstellung

 
 

Diese Gleichungen beschreiben eine Kardioide, die ein Drittel so groß wie die gegebene Kardioide, um 180 Grad gedreht und um   entlang der x-Achse verschoben ist.

(Es wurden trigonometrische Formeln benutzt:  .)

OrthogonaltrajektorienBearbeiten

 
orthogonale Kardioiden

Eine Orthogonaltrajektorie einer Kurvenschar ist eine Kurve, die jede Kurve der Schar senkrecht schneidet. Für Kardioiden gilt:

  • Die Orthogonaltrajektorien der Kardioidenschar mit den Gleichungen
 
sind die Kardioiden mit den Gleichungen
 

(Die zweite Schar entsteht durch Spiegelung der ersten an der y-Achse. Siehe Bild.)

Beweis:
Ist eine Kurve in Polarkoordinaten durch eine Funktion   gegeben, so besteht zwischen den kartesischen Koordinaten und den Polarkoordinaten eines Punktes die folgende Beziehung:

   

und damit

  

Dividiert man die letzten beiden Gleichungen erhält man die Steigung in kartesischen Koordinaten:

 

Für die Kardioiden mit den Gleichungen   bzw.   ergibt sich

  bzw.  

(Die Steigungen hängen jeweils nur von   ab, und nicht mehr von den Parametern   !)
Hieraus ergibt sich

 

D. h. jede Kurve der einen Schar schneidet jede Kurve der anderen Schar senkrecht.

 
4 Kardioiden mit Polardarstellung und Lage im Koordinatensystem

Anders orientierte KardioidenBearbeiten

Wählt man andere Lagen der Kardioide im Koordinatensystem so ändern sich die Gleichungen, die sie beschreiben. Im Bild sind die 4 üblichen Orientierungen und ihre zugehörigen Polardarstellungen zu sehen.

Zur Geschichte der KardioideBearbeiten

Bei der Suche nach einer optimalen Form von Zahnrädern untersuchte Ole Roemer 1674 Epizykloiden und damit auch Kardioiden. Der Name Kardioide wurde zuerst von Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon verwendet. Die Länge einer Kardioide wurde 1708 von Philippe de la Hire berechnet. Eine Kardioide ist eine spezielle Pascalsche Schnecke, benannt nach Étienne Pascal, dem Vater von Blaise Pascal.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Kardioide – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Kardioide – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Meyberg, Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-59188-5, S. 198,199