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Krümmungskreis

differentielle Approximation einer Kurve durch Kreise
(Weitergeleitet von Krümmungsradius)
Kurve C (mit örtlich variabler Krümmung) und ihr Krümmungskreis zu Punkt P
Kurve C (mit örtlich gleichbleibender Krümmung) und ihr Krümmungskreis im Extremum P

Der Krümmungskreis (auch Schmiegekreis oder Schmiegkreis genannt) zu einem bestimmten Punkt einer ebenen Kurve ist der Kreis, der die Kurve in diesem Punkt am besten annähert. Den Mittelpunkt des Krümmungskreises nennt man Krümmungsmittelpunkt.

Sein Radius, der Krümmungsradius, ist der Betrag des Kehrwerts der Krümmung der Kurve in . Seine Tangente in diesem Punkt stimmt mit der Tangente der Kurve überein.

Da die Krümmung einer Kurve im Allgemeinen örtlich variiert, schmiegt sich der Krümmungskreis meist nur in einer infinitesimal kleinen Umgebung der vorgegebenen Kurve an. Er verläuft auf der einen Seite des Berührungspunktes innerhalb und auf der anderen Seite außerhalb der Kurve , er schneidet also die Kurve in einem gewissen Abstand von . Nur wenn die Krümmung der Kurve bei dem vorgegebenen Punkt ein Extremum hat, schmiegt sich der Kreis auf einer längeren Strecke der Kurve an die Kurve an und wechselt nicht die Kurvenseite; es gibt dann also keinen Schnittpunkt zwischen Kurve und Krümmungskreis.

Bestimmung des KrümmungskreisesBearbeiten

Der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist die Grenzlage des Schnittpunktes der Normalen der Kurve, wenn die Kurvenpunkte der Normalen aufeinander zustreben:

 
t1, t2,... sind die Tangenten, n1, n2,... sind die Normalen in den Punkten P1, P2,... Die Punkte P1, P2,... nähern sich dem Scheitelpunkt S. Die Schnittpunkte K1, K2,... nähern sich dem Krümmungsmittelpunkt K

Ist die Kurve in der Parameterdarstellung   gegeben, so ist sein Radius, der Krümmungsradius, gegeben durch

(1)  .

Der Mittelpunkt   des Krümmungskreises hat dann die Koordinaten

 

Dabei muss der Betrag des Radius zur Bestimmung des Mittelpunktes weggelassen werden, damit der Krümmungskreis auf der richtigen Seite der Kurve liegt! Also

(2)   und
(3)  .

Der Weg, den die Krümmungskreismittelpunkte beschreiben, bezeichnet man als Evolute der Kurve.

Krümmungsradius eines FunktionsgraphenBearbeiten

Auch für den Graphen einer Funktion   lässt sich ein Krümmungsradius angeben. Unter der Krümmung der Funktion   an der Stelle   versteht man die Krümmung des Graphen der Funktion im Punkte  . Mit der Transformation   und   wird die Funktion   in eine Parameterdarstellung überführt und es ist:

 .

Die Ableitungen lauten:

    und    .

Damit gilt für den Krümmungsradius   eines Funktionsgraphen an der Stelle   nach Einsetzen in (1):

(4)      .

Für den Mittelpunkt   des Krümmungskreises ergibt sich:

(5)      
(6)      

BeispieleBearbeiten

KreisBearbeiten

 
Animation der Krümmung bei einem Kreis vom Radius 2, im Uhrzeigersinn durchlaufen

Die Parameterdarstellung eines Kreises lautet:

 

Die Ableitungen betragen:

 ;    
 ;    

Eingesetzt in (1) folgt für den Krümmungsradius eines Einheits-Kreises mit dem Radius von Eins:

Der Krümmungsradius eines Kreises ist konstant und ist so groß wie sein Radius, r=1.

Die nebenstehende Animation zeigt den Kreis vom Radius 2, mit konstanter Geschwindigkeit 1 im Uhrzeigersinn durchlaufen. Er hat Parameterdarstellung

 

und konstante Krümmung gleich  . Sein Krümmungsradius ist konstant gleich 2, das heißt gleich seinem Radius. (Der "Beschleunigungsvektor" in dieser Animation ist die zweite Ableitung  .)

ParabelBearbeiten

 
Der Krümmungskreis einer Normalparabel in ihrem Scheitelpunkt hat den Radius 0,5

Für die Normalparabel   gilt:

 
 

Setzt man in (4) ein, folgt für den Krümmungsradius:

 

An der Stelle x=0 beträgt der Krümmungsradius r=0,5 (siehe Abbildung). Für große x wächst der Krümmungsradius ~ x3, die Kurve wird immer gerader.

Lissajous-KurveBearbeiten

 
Animation des Krümmungs- kreises bei einer Lissajous-Kurve

Die Parameterdarstellung einer Lissajous-Kurve mit Frequenzverhältnis 2:3 lautet

 

Die ersten Ableitungen betragen:

 

Die zweiten Ableitungen betragen:

 

Setzt man dies in (1) ein und benutzt die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus, so folgt für den Krümmungsradius dieser Lissajous-Kurve:

 

Die Abbildung zeigt eine Animation des Krümmungskreises. Der „Beschleunigungsvektor“ in dieser Abbildung ist die zweite Ableitung   von   nach der Bogenlänge  .

Siehe auchBearbeiten

  • Klothoide, Krümmungsradius ist umgekehrt proportional zur Kurvenlänge
  • Schmiegkugel, eine Verallgemeinerung auf Raumkurven

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Grafische Illustrationen des Krümmungskreises von Kurven – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien