Astroide

Die Astroide (auch Sternkurve genannt) ist eine ebene Kurve, die sich mit einem Parameter $t\in [0,2\pi ]$ durch die Parametergleichungen

x=a(\cos t)^{3}\

y=a(\sin t)^{3}\

oder durch die implizite Gleichung

x^{\frac {2}{3}}+y^{\frac {2}{3}}=a^{\frac {2}{3}}\quad

, welche äquivalent zu

\quad (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0

ist,

beschreiben lässt, wobei $a$ eine feste positive, reelle Zahl ist. Sie ist die Kurve, die ein Punkt auf einem Kreis mit Radius ${\tfrac {1}{4}}a$ beschreibt, der innen auf einem Kreis mit Radius $a$ abrollt. Sie ist also ein spezielle Hypozykloide.

Für ihren Flächeninhalt $A$ gilt

A={\frac {3}{8}}\pi a^{2}

.

Die Länge $\ell$ der gesamten Kurve beträgt $\ell =6a$ . Innerhalb eines Kurvenviertels $0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}$ gilt für die Bogenlänge

s(t)={\frac {3}{2}}a\sin ^{2}(t)

und für den Krümmungsradius

\rho (t)={\frac {3}{2}}a\sin(2t)

.

Die Astroide ähnelt auch dem Karo auf gewöhnlichen Spielkarten.

Schwerpunkt Bearbeiten

Schwerpunkte der Astroiden
	Intervall	$x_{\mathrm {S} }$	$y_{\mathrm {S} }$
Ebenes Kurvenstück	0 ≤ t ≤ ${\tfrac {\pi }{2}}$	${\tfrac {2}{5}}a$	${\tfrac {2}{5}}a$
	0 ≤ t ≤ $\pi$	0	${\tfrac {2}{5}}a$
Ebene Figur	0 ≤ t ≤ ${\tfrac {\pi }{2}}$	${\tfrac {256}{315\pi }}a$	${\tfrac {256}{315\pi }}a$
	0 ≤ t ≤ $\pi$	0	${\tfrac {256}{315\pi }}a$
Drehkörper*	0 ≤ t ≤ ${\tfrac {\pi }{2}}$	${\tfrac {21}{128}}a$	0