Hyperbolische Mannigfaltigkeit

In der Mathematik sind hyperbolische Mannigfaltigkeiten Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit konstanter negativer Schnittkrümmung. Sie spielen eine wichtige Rolle in der niedrig-dimensionalen Topologie, insbesondere in Thurstons Geometrisierungsprogramm.

DefinitionBearbeiten

Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit   ist eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant  . (Eine Riemannsche Metrik mit Schnittkrümmung konstant   heißt hyperbolische Metrik. Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist also eine Mannigfaltigkeit mit einer vollständigen hyperbolischen Metrik.)

Äquivalente Definition 1: Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zum hyperbolischen Raum ist.

Äquivalente Definition 2: Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit   der Form  , wobei   der hyperbolische Raum und   eine diskrete Untergruppe der Gruppe der Isometrien des hyperbolischen Raumes ist.

Hyperbolische MonodromieBearbeiten

Weil der hyperbolische Raum zusammenziehbar ist, muss die in Definition 2 verwendete Gruppe   isomorph zur Fundamentalgruppe   sein. Die sich aus Definition 2 ergebende Darstellung   wird auch als Monodromiedarstellung oder hyperbolische Monodromie bezeichnet.

Im Fall orientierbarer Mannigfaltigkeiten bildet die Monodromiedarstellung nach   ab.

LiteraturBearbeiten

  • Benedetti, Riccardo; Petronio, Carlo: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 1992. xiv+330 pp. ISBN 3-540-55534-X
  • Kapovich, Michael: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009. xxviii+467 pp. ISBN 978-0-8176-4912-8

WeblinksBearbeiten