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Die Sphäre ist ein wichtiges Objekt in den mathematischen Teilgebieten Topologie und Differentialgeometrie. Aus Sicht dieser mathematischen Gebiete ist die Sphäre eine Mannigfaltigkeit. Sie ist deshalb so wichtig, weil sie das einfachste Beispiel einer kompakten Mannigfaltigkeit ist.

Inhaltsverzeichnis

Sphären in der TopologieBearbeiten

  • Unter einer topologischen Sphäre versteht man eine topologische Mannigfaltigkeit, die homöomorph zur Einheitssphäre im Rn+1 ist. Sie wird mit   bezeichnet. Aus Sicht der Topologie betrachtet ist beispielsweise die Oberfläche eines Würfels also auch eine 2-Sphäre. Die 1-dimensionale Sphäre wird auch als Kreis bezeichnet.
  • Man erhält eine topologische  -Sphäre, indem man die Ränder zweier  -Kugeln orientierungsumkehrend miteinander verklebt.
  • Die  -Sphäre ist auch gerade die Alexandroff-Kompaktifizierung des   und daher kompakt. Ebenso entsteht sie durch Zusammenkleben des Randes einer  -dimensionalen abgeschlossenen Vollkugel (hier folgt die Kompaktheit daraus, dass das Zusammenkleben (als Finaltopologiebildung) stetig ist und daher die kompakte abgeschlossene Vollkugel auf ein Kompaktum abbildet).
  • Die  -Sphäre   des   ist homöomorph zum geometrischen Rand eines jeden n-Simplexes und ist in diesem Sinne ein krummes Polyeder.[1]
  • Die   ist zu keiner Teilmenge eines   homöomorph, wie sich aus dem Borsukschen Antipodensatz ergibt. Dies wiederum impliziert die sogenannte Invarianz der Dimension.[2]
  • Die   ist kein Retrakt von  [3][4]. Das bedeutet, dass es keine stetige Abbildung der n-dimensionalen Einheitskugel   auf die (n-1)-dimensionale Sphäre   gibt, welche die Punkte der   fix lässt. Diese Aussage ist gleichwertig mit der Aussage des Brouwerschen Fixpunktsatzes[5].

Differenzierbare StrukturenBearbeiten

Im Bereich der Differentialtopologie wird die Sphäre noch mit einer differenzierbaren Struktur ausgestattet, so dass man von differenzierbaren Abbildungen auf der Sphäre sprechen kann. Auf einer topologischen Mannigfaltigkeit ist es in der Regel möglich unterschiedliche nicht kompatible differenzierbare Strukturen zu definieren. Die stereografischen Projektion beispielsweise induziert die auf der Sphäre meist betrachtete differenzierbare Struktur. Bei der Sphäre hängt es von der Dimension ab, ob es noch weitere differenzierbare Strukturen gibt. Der Mathematiker John Milnor beschäftigte sich mit diesem Thema und zeigte die Existenz von sogenannten exotischen Sphären.

Aussagen über SphärenBearbeiten

Poincaré-VermutungBearbeiten

Die Poincaré-Vermutung lautet:

Jede geschlossene einfach zusammenhängende 3-dimensionale Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre

Darüber hinaus gibt es noch eine Verallgemeinerung der Vermutung, auf n-dimensionale Mannigfaltigkeiten in der folgenden Form:

Jede geschlossene n-Mannigfaltigkeit mit dem Homotopietyp einer n-Sphäre ist zur n-Sphäre homöomorph.

Für den Fall n=3 stimmt diese verallgemeinerte Vermutung mit der ursprünglichen Poincaré-Vermutung überein. Für den Fall   wurde sie 1960 von Stephen Smale bewiesen, für den Fall   1982 von Michael Freedman. Der russische Mathematiker Grigori Perelman bewies die Poincaré-Vermutung im Jahre 2002, wofür ihm die Fields-Medaille zuerkannt wurde. Diese lehnte er jedoch ab.

Exotische SphärenBearbeiten

Der US-amerikanische Mathematiker John Milnor fand 1956 heraus, dass es differenzierbare Mannigfaltigkeiten gibt, die homöomorph zur 7-Sphäre sind, ihre differenzierbaren Strukturen jedoch nicht kompatibel miteinander sind. Zusammen mit dem Schweizer Mathematiker Michel Kervaire zeigte er, dass für die 7-Sphäre   15 verschiedene differenzierbare Strukturen (28 bei Berücksichtigung der Orientierung) existieren.

SphärensatzBearbeiten

Die Mathematiker Harry Rauch, Wilhelm Klingenberg und Marcel Berger konnten zeigen, dass bei bestimmten Voraussetzungen an die Krümmung kompakter riemannscher Mannigfaltigkeit diese homöomorph zur Sphäre sind, es sich also um topologische Sphären handelt. Diese Aussage wurde noch verschärft. Es konnte sogar gezeigt werden, dass diese riemannsche Mannigfaltigkeit dann diffeomorph zur Sphäre mit der normalen differenzierbaren Struktur ist.

Topologische GruppenBearbeiten

Die einzigen Sphären, die gleichzeitig eine Gruppenstruktur haben und damit eine topologische Gruppe bilden, sind die 0-, 1- und die 3-Sphäre. Dabei entspricht der 0-Sphäre die Gruppe  , der 1-Sphäre   die Lie-Gruppe U(1) und der 3-Sphäre   die Lie-Gruppe SU(2).

Die 7-Sphäre ist zwar keine topologische Gruppe, aber sie ist eine echte Moufang-Loop, da sie durch die Oktonionen mit dem Betrag 1 beschrieben werden kann.

ParallelisierbarkeitBearbeiten

Die 1-, 3- und 7-Sphäre sind die einzigen Sphären, die parallelisierbar sind. Aus dem Satz vom Igel folgt, dass eine Sphäre mit gerader Dimension nicht parallelisierbar ist. Die Ausnahmestellung der 1-, 3- und 7-Sphäre hängt allerdings mit der Existenz der Divisionsalgebren zusammen.

LiteraturBearbeiten

  • Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264).
  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag, New York u. a. 2003, ISBN 0-387-95495-3.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. H. Schubert: Topologie. 1975, S. 166.
  2. E. Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 186.
  3. L. Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 176.
  4. E. Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 158.
  5. E. Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 158–159.