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DefinitionBearbeiten

Eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit   ist ein symmetrischer Raum, wenn es zu jedem   eine Spiegelung an   gibt, d. h. eine Isometrie

 

mit

 ,

für deren Differential in  

 

gilt, also   für alle  .

BeispieleBearbeiten

  • Der euklidische   ist ein symmetrischer Raum, zu jedem   definiert man die Spiegelung   durch
 .
  • Die Einheitssphäre   ist ein symmetrischer Raum. Zu   ist   der eindeutig bestimmte Punkt auf dem Großkreis durch   und  , für den   sowie (falls   und   keine antipodalen Punkte sind)   gilt.
  • Mit einer bi-invarianten Metrik versehene Lie-Gruppen sind symmetrische Räume. Die Spiegelung   wird definiert durch
 .

Geodätische SymmetrieBearbeiten

Sei   eine Geodäte mit  . Aus   folgt   für alle  .

Umgekehrt kann man in jeder Riemannschen Mannigfaltigkeit lokal (in einer hinreichend kleinen Umgebung   eines Punktes  ) eine geodätische Spiegelung   durch   definieren. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt lokal symmetrisch, wenn   auf seinem Definitionsbereich eine Isometrie ist. Sie ist ein symmetrischer Raum, falls   eine Isometrie ist und sich auf ganz   definieren lässt.

Homogener RaumBearbeiten

Jeder symmetrische Raum ist ein homogener Raum, d. h. von der Form   für eine zusammenhängende Lie-Gruppe   und eine kompakte Untergruppe  , so dass die Riemannsche Metrik unter der Links-Wirkung von   invariant ist. Cartan charakterisiert symmetrische Räume wie folgt: Sei   eine zusammenhängende Liegruppe,   eine kompakte Untergruppe und   ein Liegruppenhomomorphismus mit   sowie  . (Hier bezeichnet   die Fixpunkte von   und   die Zusammenhangskomponente des neutralen Elements.   heißt Cartan-Involution.) Dann trägt   eine  -invariante Riemannsche Metrik   und   ist ein symmetrischer Raum.

Cartan-ZerlegungBearbeiten

Sei   ein symmetrischer Raum und   die Cartan-Involution. Seien   die Lie-Algebren von  .

Sei  . Wegen   sind   die einzigen Eigenwerte,   ist der Eigenraum zum Eigenwert  . Wir bezeichnen mit   den Eigenraum zum Eigenwert  , er entspricht dem Tangentialraum an   in  . Dann ist   und

 ,  ,  .

Die mit Hilfe der Killing-Form   definierte Form

 

ist positiv semidefinit.

Umgekehrt gibt es zu einer Zerlegung   mit diesen Eigenschaften immer eine Involution   auf  , die   auf   und   auf   ist. Sei   die einfach zusammenhängende Lie-Gruppe mit Lie-Algebra  , dann gibt es zu   eine Involution   mit   und damit einen symmetrischen Raum  .

BeispielBearbeiten

 

mit   ist eine Cartan-Zerlegung.

Typen symmetrischer RäumeBearbeiten

DefinitionenBearbeiten

Ein symmetrischer Raum   ist von kompaktem Typ, wenn die Killing-Form auf   negativ semidefinit ist.

Ein symmetrischer Raum   ist von euklidischem Typ, wenn   abelsch ist.

Ein symmetrischer Raum   ist von nichtkompaktem Typ, wenn die Killing-Form auf   nicht-ausgeartet, aber nicht negativ semidefinit und   eine Cartan-Zerlegung ist. (In diesem Fall ist   halbeinfach und   eine maximal kompakte Untergruppe.)

BeispieleBearbeiten

  • Die Sphäre   ist ein symmetrischer Raum von kompaktem Typ.
  • Der euklidische Raum ist ein symmetrischer Raum von euklidischem Typ, ebenso der n-dimensionale Torus.
  • Der hyperbolische Raum   ist ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ.   und   sind symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ.

Produkt-ZerlegungBearbeiten

Ein symmetrischer Raum heißt irreduzibel, wenn er sich nicht als Produkt zweier nichttrivialer symmetrischer Räume zerlegen lässt, reduzibel sonst. Jeder symmetrische Raum lässt sich als Produkt irreduzibler symmetrischer Räume von kompaktem, euklidischem und nichtkompaktem Typ zerlegen.

SchnittkrümmungBearbeiten

Symmetrische Räume von kompaktem Typ haben Schnittkrümmung  , symmetrische Räume von euklidischem Typ haben Schnittkrümmung  , symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ haben Schnittkrümmung  .

Symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ sind CAT(0)-Räume und zusammenziehbar.

DualitätBearbeiten

Der symmetrische Raum   mit   ist von kompaktem Typ genau dann, wenn der symmetrische Raum   mit   von nichtkompaktem Typ ist. Man bezeichnet diese beiden symmetrischen Räume als dual zueinander. Zu einem gegebenen symmetrischen Raum von nichtkompaktem Typ   wird das kompakte Dual mit   bezeichnet.

Beispiele:

  • Der hyperbolische Raum ist dual zur Sphäre.
  •   ist dual zu  .

RangBearbeiten

Der Rang eines symmetrischen Raumes   ist definiert als

 ,

d. h. die Dimension eines maximalen Unterraumes, auf dem die Schnittkrümmung verschwindet.

Beispiel:  .

Symmetrische Räume vom Rang 1Bearbeiten

Die einzigen nichtkompakten symmetrischen Räume mit   sind

Die einzigen kompakten symmetrischen Räume vom Rang 1 sind die

KlassifikationBearbeiten

Es gibt eine vollständige Klassifikation symmetrischer Räume. Im Fall kompakter symmetrischer Räume ergibt sich folgende Tabelle (für die irreduziblen Faktoren, in die sich jeder symmetrische Raum zerlegen läßt)

Label     Dimension Rang
AI        
AII        
AIII        
BDI        
DIII        
CI        
CII        
EI     42 6
EII     40 4
EIII     32 2
EIV     26 2
EV     70 7
EVI     64 4
EVII     54 3
EVIII     128 8
EIX     112 4
FI     28 4
FII     16 1
G     8 2

Die Klassifikation (irreduzibler) symmetrischer Räume von nichtkompaktem Typ ergibt sich aus der Klassifikation kompakter symmetrischer Räume mit dem Dualitätsprinzip.

LiteraturBearbeiten

  • Helgason, Sigurdur: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7
  • Köhler, Kai: Differentialgeometrie und homogene Räume. Springer Spektrum, 2014. ISBN 978-3-8348-8313-1
  • Arvanitoyeorgos, Andreas: An introduction to Lie groups and the geometry of homogeneous spaces. Translated from the 1999 Greek original and revised by the author. Student Mathematical Library, 22. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. ISBN 0-8218-2778-2
  • Cheeger, Jeff; Ebin, David G.: Comparison theorems in Riemannian geometry. Revised reprint of the 1975 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2008. ISBN 978-0-8218-4417-5
  • Helgason, Sigurdur: Geometric analysis on symmetric spaces. Second edition. Mathematical Surveys and Monographs, 39. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. ISBN 978-0-8218-4530-1
  • Helgason, Sigurdur: Topics in harmonic analysis on homogeneous spaces. Progress in Mathematics, 13. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981. ISBN 3-7643-3051-1

WeblinksBearbeiten