Satz von Cartan-Hadamard

In der Mathematik ist der Satz von Cartan-Hadamard ein Satz der riemannschen Geometrie, der die Topologie von Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung beschreibt. Benannt ist die Aussage nach den Mathematikern Élie Cartan und Jacques Hadamard. Hadamard hatte ihn 1898 für Flächen bewiesen, Cartan dann 1928 allgemein für Riemannsche Mannigfaltigkeiten.

AussageBearbeiten

Sei   eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung, dann ist für jedes   die Exponentialabbildung

 

eine Überlagerung.

Korollar: Sei   eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung, dann ist   asphärisch, d. h. die höheren Homotopiegruppen verschwinden:

 .

Verallgemeinerung (Metrische Räume)Bearbeiten

Sei   ein Hadamard-Raum. Dann gibt es für alle   eine eindeutige Geodäte

 

mit  , und   hängt stetig von   und   ab.

Lokale CAT(0)-RäumeBearbeiten

Ein vollständiger, zusammenhängender, metrischer Raum heißt lokal CAT(0), wenn jeder Punkt eine Umgebung besitzt, die (mit der eingeschränkten Metrik) ein CAT(0)-Raum ist.

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Cartan-Hadamard[1] besagt: wenn   ein lokaler CAT(0)-Raum ist, dann gibt es auf der universellen Überlagerung   eine eindeutige Metrik   so dass

  • die Überlagerung   eine lokale Isometrie ist, und
  •   ein CAT(0)-Raum ist.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ballmann, op. cit., Theorem I.4.5