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Die Schnittkrümmung ist eine Größe der riemannschen Geometrie, eines Teilgebiets der Mathematik. Mit ihrer Hilfe kann man die Krümmung einer -dimensionalen riemannschen Mannigfaltigkeit beschreiben. Dabei wird jeder (zweidimensionalen) Ebene im Tangentialraum an einem Punkt dieser Mannigfaltigkeit eine Zahl als Krümmung zugeordnet. Die Schnittkrümmung kann als Verallgemeinerung der gaußschen Krümmung verstanden werden. Der Name kommt daher, dass man sozusagen einen Schnitt durch die Mannigfaltigkeit in Richtung der gegebenen Ebene legt und die gaußsche Krümmung der so entstandenen Fläche bestimmt.

DefinitionBearbeiten

Gegeben seien eine riemannsche Mannigfaltigkeit  , ein Punkt   in   und ein zweidimensionaler Unterraum (Ebene)   des Tangentialraums   von   im Punkt  . Seien   und   zwei Tangentialvektoren, die diese Ebene aufspannen. Mit

 

wird der Flächeninhalt des von   und   aufgespannten Parallelogramms bezeichnet,   bezeichnet den riemannschen Krümmungstensor.

Dann hängt die Größe

 

nur von der Ebene   ab, aber nicht von der Wahl der sie aufspannenden Vektoren   und  . Man schreibt deshalb für   auch   und nennt dies die Schnittkrümmung von  .[1]

Da unterschiedliche Vorzeichenkonventionen für den riemannschen Krümmungstensor existieren, wird die Schnittkrümmung je nach Kontext auch durch

 

definiert.[2] In diesem Artikel wird allerdings die erste Konvention verwendet.

In lokalen Koordinaten kann obige Formel für die Schnittkrümmung auch wie folgt geschrieben werden:

 

Beziehung zur gaußschen KrümmungBearbeiten

Sei   eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des euklidischen Raums und   die auf   induzierte Metrik. Für jeden Punkt   und jede Basis   von   ist die Schnittkrümmung

 

gleich der gaußschen Krümmung   von   im Punkt  . Dass man die gaußsche Krümmung so darstellen kann, ist eine Folgerung aus Gauß’ Theorema egregium.

Beziehungen zu weiteren KrümmungsgrößenBearbeiten

  • Alle Informationen, die der riemannsche Krümmungstensor bereitstellt, sind in der Schnittkrümmung enthalten. Man kann also aus der Schnittkrümmung den riemannschen Krümmungstensor zurückgewinnen. Seien nämlich   und   zwei  -Tensoren, die die Symmetrieeigenschaften
 ,  ,  
und die Bianchi-Identität
 
erfüllen. Gilt dann für jedes Paar linear unabhängiger Vektoren   die Gleichung
 
so folgt  .
  • Da man den riemannschen Krümmungstensor   aus dem Schnittkrümmung   zurückgewinnen kann, kann man auch eine Beziehung zwischen der Ricci-Krümmung   und der Schnittkrümmung finden. Sei dazu   eine Orthonormalbasis des Tangentialraums   so gilt
 
Die Ricci-Krümmung ist durch die Formel vollständig bestimmt, da der Ricci-Tensor symmetrisch ist. Hat die zugrundeliegende, riemannsche Mannigfaltigkeit   der Dimension   konstante Schnittkrümmung, so gilt die vereinfachte Formel
 
  • Für die Skalarkrümmung   erhält man die ähnliche Formel
 
wobei   wieder eine Orthonormalbasis des Tangentialraums ist. Ist die Schnittkrümmung konstant, so gilt
 

BeispieleBearbeiten

  • Die Schnittkrümmung des euklidischen Raums   ist konstant null, denn der riemannsche Krümmungstensor ist so definiert, dass er für alle Punkte aus   verschwindet.
  • Die Sphäre   mit Radius   hat Schnittkrümmung  . Da diese isotrop und homogen ist, ist die Schnittkrümmung konstant und es reicht diese am Nordpol   zu bestimmen. Mit   wird die Exponentialabbildung am Nordpol bezeichnet. Außerdem sei   der zwei-dimensionale Untervektorraum des Tangentialraums  , welcher von   aufgespannt wird. Nun ist   eine Mannigfaltigkeit, welche isometrisch zu   ist. Von dieser ist bekannt, dass die Gaußkrümmung   beträgt. Daher hat auch die  -dimensionale Sphäre die Schnittkrümmung  .
  • Der hyperbolische Raum   hat Schnittkrümmung  

AnwendungenBearbeiten

 
Mannigfaltigkeiten mit konstanter Krümmung (von links nach rechts): Das Hyperboloid mit negativer Krümmung, der Zylinder mit Krümmung null und die Sphäre mit positiver Krümmung.

Mannigfaltigkeiten mit konstanter KrümmungBearbeiten

Wie auch in anderen Teilbereichen der Mathematik versucht man in der riemannschen Geometrie Objekte zu klassifizieren. In der riemannschen Geometrie werden die entsprechenden riemannschen Mannigfaltigkeiten klassifiziert. So versteht man zwei Mannigfaltigkeiten als gleich, wenn es eine isometrische Abbildung zwischen ihnen gibt. Die Schnittkrümmung, da sie von riemannschen Metrik abhängt, ist eine wichtige Invariante von riemannschen Mannigfaltigkeiten. Bei vollständigen, einfach zusammenhängenden riemannschen Mannigfaltigkeiten mit konstanter Schnittkrümmung ist die Klassifikation verhältnismäßig einfach, denn es gibt nur drei Fälle zu betrachten. Hat die riemannsche Mannigfaltigkeit die Dimension   und die konstante, positive Schnittkrümmung  , so ist sie isometrisch (gleich) zur  -dimensionalen Sphäre   mit Radius  . Ist die Schnittkrümmung konstant null so nennt man die Mannigfaltigkeit flach und sie ist isometrisch zum euklidischen Raum   und im Fall, dass die Mannigfaltigkeit die negative Schnittkrümmung   hat, so entspricht sie dem  -dimensionalen hyperbolischen Raum  .

Betrachtet man nun nicht mehr nur die einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten, sondern alle vollständigen und zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten   mit konstanter Schnittkrümmung, so ist deren Klassifikation schon komplizierter. Die Fundamentalgruppe dieser Mannigfaltigkeiten verschwindet nicht mehr. Es lässt sich nun zeigen, dass solche Mannigfaltigkeiten isometrisch zu   sind. Wobei   für einen der drei Räume aus dem obigen Abschnitt also für   oder   steht und   eine diskrete Untergruppe der Isometriegruppe   von   ist, welche frei und eigentlich diskontinuierlich auf   operiert. Diese Gruppe   ist isomorph zur Fundamentalgruppe   von  .

Mannigfaltigkeiten mit negativer KrümmungBearbeiten

Élie Cartan verallgemeinerte 1928 ein Resultat von Jacques Hadamard, welches in moderner Formulierung besagt, dass die Exponentialabbildung bei nicht positiver Schnittkrümmung eine universelle Überlagerung ist. Diese Aussage wird heute Satz von Cartan-Hadamard genannt. Es gibt unterschiedliche Formulierungen des Satzes. Die Version für riemannsche Mannigfaltigkeiten lautet präzise:

Ist   eine vollständige, zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit, deren Schnittkrümmungen alle nicht positiv sind. Dann ist die Exponentialabbildung   für alle   eine universelle Überlagerungsabbildung. Insbesondere ist also der Überlagerungsraum   diffeomorph zu  . Ist   sogar einfach zusammenhängend, so ist   selbst diffeomorph zu  .

Dieser Satz ist unter anderem deshalb bemerkenswert, weil er einen Zusammenhang zwischen einer lokalen Größe und einer globalen Größe einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit liefert. Solche Aussagen werden auch lokal-global-Theoreme genannt. In diesem Fall ist die Schnittkrümmung der Mannigfaltigkeit die lokale Größe, denn die Schnittkrümmung wird für jedes   definiert. Unter der Voraussetzung, dass die Mannigfaltigkeit   einfach zusammenhängend ist, ist sie nach dem Satz diffeomorph zu  , was eine globale, differentialtopologische Eigenschaft ist, die mit der riemannschen Metrik nichts zu tun hat. Aus dem Satz folgt nun, dass kompakte, vollständige, einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten, wie zum Beispiel die Sphäre eine ist, immer eine irgendwo positive Schnittkrümmung haben müssen. Denn, weil die Sphäre kompakt ist, kann sie nicht diffeomorph zum   sein. Aus der Bedingung der nicht positiven Schnittkrümmung erhält man also starke Einschränkungen in Bezug auf die Topologie, welche die Mannigfaltigkeit tragen kann. Mit Hilfsmitteln der algebraischen Topologie lässt sich zeigen, dass die Homotopiegruppen   der Mannigfaltigkeiten, welche die Voraussetzungen des Satzes erfüllen, für   verschwinden.

Mannigfaltigkeiten mit positiver KrümmungBearbeiten

Ein Resultat aus dem Bereich Mannigfaltigkeiten mit positiver Schnittkrümmung ist der Satz von Bonnet. Dieses lokal-global-Theorem bringt die Schnittkrümmung mit den topologischen Eigenschaften Kompaktheit und endlicher Fundamentalgruppe in Verbindung. Präzise besagt der Satz:

Sei   eine vollständige, zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit. Alle Schnittkrümmungen seien durch   nach unten beschränkt. Dann ist   ein kompakter Raum mit endlicher Fundamentalgruppe.

LiteraturBearbeiten

  • John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer, New York 1997, ISBN 0387983228, Kapitel 8.
  • Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8, Kapitel 4.3.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer, New York 1997, ISBN 0387983228, Seite 146.
  2. Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8, Seite 94.