Überlagerung (Topologie)

(Weitergeleitet von Universelle Überlagerung)

Die Überlagerung eines topologischen Raums ist eine stetige Abbildung mit speziellen Eigenschaften.

DefinitionBearbeiten

 
Anschaulich kann man sich eine Überlagerung so vorstellen, dass man den Überlagerungsraum auf dem Ausgangsraum drauflegt.

Sei   ein topologischer Raum. Eine Überlagerung von   ist eine stetige surjektive Abbildung

 ,

sodass es einen diskreten Raum   gibt und für jedes   eine offene Umgebung   gibt, sodass

 

und die Abbildung   für jedes   ein Homöomorphismus ist.

Oft wird der Begriff der Überlagerung auch für den Überlagerungsraum   benutzt. Die offenen Mengen   werden Blätter genannt und sind, vorausgesetzt die offene Umgebung   ist zusammenhängend, eindeutig durch   bestimmt.[1]   Für ein   heißt die diskrete Teilmenge   die Faser von  . Der Grad der Überlagerung ist die Kardinalität des Raumes  . Im Falle eines endlichen Grades spricht man von einer endlichen Überlagerung. Ist   wegzusammenhängend, so wird   als wegzusammenhängende Überlagerung bezeichnet.

BeispieleBearbeiten

  • Für jeden topologischen Raum   existiert die triviale Überlagerung   mit  .
 
Der Raum  ist eine Überlagerung von  , die paarweise disjunkten Mengen   werden homöomorph auf  abgebildet. Die Faser des Punktes   besteht aus den Punkten  .
  • Die Abbildung   mit   ist eine (nicht triviale) Überlagerung des Einheitskreises   in  . Hierbei gilt beispielsweise für eine offene Umgebung   eines   mit positivem  -Wert:  .
  • Für jedes   ist die Abbildung   mit   eine weitere Überlagerung des Einheitskreises. Für eine offene Umgebung   eines   gilt:  .
  • Ein Gegenbeispiel, welches zwar ein lokaler Homöomorphismus aber keine Überlagerung des Einheitskreises ist, ist die Abbildung   mit  . Hierbei wird ein Blatt von  , wobei   eine offene Umgebung von   ist, nicht homöomorph unter   auf   abgebildet.

EigenschaftenBearbeiten

Lokaler HomöomorphismusBearbeiten

Da eine Überlagerung   die paarweise disjunkten, offenen Mengen von   jeweils homöomorph auf die offene Menge   abbildet, ist sie ein lokaler Homöomorphismus, i.e.   ist eine stetige Abbildung, sodass für jedes   eine offene Umgebung   existiert, sodass   ein Homöomorphismus ist. Daraus folgt, dass der Überlagerungsraum und der Ausgangsraum lokal die gleichen Eigenschaften haben:

  • Ist   eine zusammenhängende und nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit, dann gibt es eine zusammenhängende Überlagerung  , wobei   eine zusammenhängende und orientierbare Mannigfaltigkeit ist.[1]  
  • Ist   eine zusammenhängende Lie-Gruppe, so gibt es einen Lie-Gruppen-Homomorphismus  , mit  , der gleichzeitig eine Überlagerung ist.[2]  
  • Ist   ein Graph, dann gilt für eine Überlagerung  , dass   auch ein Graph ist.[1]  
  • Ist   eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit, dann gibt es eine Überlagerung  , wobei   eine zusammenhängende und einfach-zusammenhängende Mannigfaltigkeit ist.[3]  
  • Ist   eine zusammenhängende Riemannsche Fläche, dann gibt es eine holomorphe Abbildung[3]    , welche gleichzeitig eine Überlagerung ist und   ist eine zusammenhängende und einfach-zusammenhängende Riemannsche Fläche.[3]  

Produkt von ÜberlagerungenBearbeiten

Seien   und   topologische Räume und   und   Überlagerungen, dann ist   mit   eine Überlagerung von  .[4]  

FaktorisierungBearbeiten

Seien   und   stetige Abbildung, sodass das Diagram

kommutiert.

  • Sind   und   Überlagerung, so auch  .[4]  
  • Sind   und   Überlagerung, so auch  .[4]  

Äquivalenz von ÜberlagerungenBearbeiten

Sei   ein topologischer Raum und   und   Überlagerungen. Die Überlagerungen sind zueinander äquivalent, wenn es einen Homöomorphismus   gibt, sodass das Diagramm

kommutiert. Solch ein Homöomorphismus wird auch als ein Isomorphismus zwischen Überlagerungsräumen bezeichnet.

HochhebungseigenschaftBearbeiten

Eine wichtige Eigenschaft der Überlagerung ist, dass sie die Hochhebungseigenschaft erfüllt:

Sei   das Einheitsintervall   und   eine zusammenhängende Überlagerung. Sei   eine stetige Abbildung und   ein Lift von  , i.e. eine stetige Abbildung, sodass  , dann gibt es eine eindeutig definierte, stetige Abbildung  , welche   hochhebt (liftet), i.e.  .[1]  

Ist   ein wegzusammenhängender Raum, so ist für   die Abbildung   die Hochhebung eines Weges in   und für   die Hochhebung einer Homotopie von Wegen in  .

Mithilfe der Hochhebungseigenschaft lässt sich beispielsweise zeigen, dass die Fundamentalgruppe   des Einheitskreises eine unendliche, zyklische Gruppe ist, welche von der Homotopieklasse der Schleife   mit   erzeugt wird.[1]  

Ist   ein wegzusammenhängender Raum und   eine zusammenhängende Überlagerung, so gilt für je zwei Punkte  , die durch einen Weg   verbunden sind, dass man durch die Hochhebung   von   eine bijektive Abbildung

 ,  

zwischen den Fasern von   und   erhält.[1]  

Ist   ein wegzusammenhängender Raum und   eine zusammenhängende Überlagerung, dann ist der durch   induzierte Gruppenhomomorphismus

  mit  

injektiv. Die Elemente der Untergruppe   sind die Homotopieklassen der geschlossenen Wegen in  , deren Hochhebung geschlossene Wege in   sind.[1]  

Verzweigte ÜberlagerungBearbeiten

DefinitionenBearbeiten

Holomorphe Abbildungen zwischen Riemannschen FlächenBearbeiten

Seien   und   Riemannsche Flächen, i.e. ein-dimensionale, komplexe Mannigfaltigkeiten und   eine stetige Abbildung. Die Abbildung   ist holomorph in einem Punkt  , wenn für jede Karte   von   und   von  , mit  , die Abbildung   holomorph ist.

  ist holomorph, wenn   auf ganz   holomorph ist.

Die Funktion   heißt die lokale Darstellung von   in  .

Ist   eine nicht-konstante, holomorphe Abbildung zwischen kompakten Riemannschen Flächen, dann ist   surjektiv[3]   und eine offene Abbildung[3]  , i.e. für jede offene Menge   ist das Bild   ebenfalls offen.

VerzweigungspunktBearbeiten

Sei   eine nicht-konstante, holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen. Für jedes   gibt es Karten für   und   und es existiert ein  , sodass die lokale Darstellung von   in   von der Form   ist.[3]   Dieses   wird als Verzweigungsindex von   in   bezeichnet. Ein Punkt   heißt Verzweigungspunkt von  , wenn  .

Grad einer holomorphen AbbildungBearbeiten

Der Grad   einer nicht-konstante, holomorphe Abbildung   zwischen kompakten Riemannschen Flächen ist die Kardinalität der Faser eines nicht-Verzweigungspunktes  , i.e.  .

Diese Zahl ist endlich, da für jedes   die Faser   diskret ist[3]   und sie ist wohldefiniert, da für je zwei  , welche keine Verzweigungspunkte sind, gilt:  .[3]  

Für   gilt:

  [3]  

Verzweigte ÜberlagerungBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Eine stetige Abbildung   wird verzweigte Überlagerung genannt, wenn es eine abgeschlossene Menge   mit dichtem Komplement gibt, sodass   eine Überlagerung ist.

BeispieleBearbeiten

  • Sei   und  , dann ist   mit   ist eine  -fache verzweigte Überlagerung von  , wobei   ein Verzweigungspunkt ist.
  • Jede nicht-konstante, holomorphe Abbildung   zwischen kompakten Riemannschen Flächen vom Grad   ist eine verzweigte  -fache Überlagerung.

Universelle ÜberlagerungBearbeiten

Sei   eine einfach-zusammenhängende Überlagerung und   eine Überlagerung, dann existiert eine eindeutig definierte Überlagerung  , sodass das Diagramm

kommutiert.[4]  

DefinitionBearbeiten

Sei   eine einfach-zusammenhängende Überlagerung. Ist   eine weitere einfach-zusammenhängende Überlagerung von  , dann existiert ein eindeutig definierter Homöomorphismus  , der das Diagramm

kommutieren lässt.[4]   Damit ist   bis auf Isomorphismen zwischen Überlagerungsräumen eindeutig bestimmt und wird aufgrund dieser universellen Eigenschaft die universelle Überlagerung von   genannt.

ExistenzBearbeiten

Die folgenden Kriterien garantieren die Existenz der universellen Überlagerung, da diese nicht für alle topologischen Räume existiert:

Sei   zusammenhängend und lokal einfach-zusammenhängend, dann gibt es eine universelle Überlagerung  .

  ist definiert als   und   als  .[1]  

Die Topologie auf   erhält man wie folgt: Für ein Weg   mit   besitzt der Endpunkt   eine einfach-zusammenhängende Umgebung  , in der für jedes   die Wege   in   von   nach   bis auf Homotopie eindeutig definiert sind. Setzt man  , so ist   mit   eine Bijektion und   kann mit der Finaltopologie von   versehen werden.

Die Fundamentalgruppe   operiert durch   frei auf   und   ist ein Homöomorphismus, i.e.  

BeispieleBearbeiten

  •   mit   ist die universelle Überlagerung der  .
  • Sei  . Die Abbildung   mit   ist für   die universelle Überlagerung des projektiven Raumes   .
  •   mit   ist die universelle Überlagerung der unitären Gruppe  .[5]
  • Weil  , ist die Abbildung   die universelle Überlagerung der  .
  • Ein Raum, welcher keine universelle Überlagerung besitzt, ist der sogenannte Hawaiischer Ohrring
 . Hierbei handelt es sich um eine abzählbare Vereinigung von Kreisen   mit Radius  , welche alle durch den Ursprung gehen. Es lässt sich zeigen, dass keine Umgebung des Ursprungs einfach-zusammenhängend ist.[4]  

DecktransformationBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sei   ein topologischer Raum und   eine Überlagerung. Eine Decktransformation ist ein Homöomorphismus  , sodass das Diagramm

kommutiert. Die Menge der Decktransformation bildet mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe  , welche gleich der Automorphismengruppe   ist.

BeispieleBearbeiten

  • Sei   und   die Überlagerung  , dann ist die Abbildung   eine Decktransformation und  .
  • Sei   die Überlagerung  , dann ist die Abbildung   mit   eine Decktransformation und  .

EigenschaftenBearbeiten

Sei   ein wegzusammenhängender Raum und   eine zusammenhängende Überlagerung. Da eine Decktransformation   bijektiv ist, wird jedes Elemente einer Faser   permutiert und die Abbildung ist dadurch eindeutig definiert, wie sie einen einzelnen Punkt aus der Faser abbildet. Insbesondere fixiert nur die triviale Decktransformation, i.e.  , einen Punkt in der Faser.[1]   Damit definiert die Gruppe der Decktransformationen eine Gruppenoperation auf jeder Faser, u.z. für eine offene Umgebung   eines   und eine offene Umgebung   eines   gilt:   ist eine Gruppenoperation.

Normale ÜberlagerungenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Eine Überlagerung   heißt normal, wenn  . Das bedeutet, dass es für jedes   und für je zwei   eine Decktransformation   gibt, sodass  . Diese Überlagerungen werden auch regulär genannt.

EigenschaftenBearbeiten

Sei   ein wegzusammenhängender Raum und   eine zusammenhängende Überlagerung. Sei   eine Untergruppe von  , dann ist die Überlagerung   genau dann normal, wenn   eine normale Untergruppe von   ist.[1]  

Sei   eine normale Überlagerung und  , dann ist  .[1]  

Sei   eine wegzusammenhängende Überlagerung und  , dann ist      , wobei   der Normalisator von   ist.[1]  

Sei   ein topologischer Raum. Eine Gruppe   operiert diskontinuierlich auf  , wenn für jedes   und jede offene Umgebung   von   mit   gilt, dass für jedes   mit   folgt, dass  .

Operiert nun eine Gruppe   diskontinuierlich auf einem topologischen Raum  , so ist die Quotientenabbildung   mit   eine normale Überlagerung.[1]   Dabei ist   der Quotientenraum und   die Bahn der Gruppenoperation.

BeispieleBearbeiten

  • Die Überlagerung   mit   ist eine normale Überlagerung für alle  .
  • Jede einfach-zusammenhängende Überlagerung ist eine normale Überlagerung.

Berechnung von DecktransformationsgruppenBearbeiten

Sei   eine Gruppe, die diskontinuierlich auf einem topologischen Raum   operiert und   die normale Überlagerung.

  • Ist   wegzusammenhängend, so gilt  .[1]  
  • Ist   einfach-zusammenhängend, so gilt  .[1]  

BeispieleBearbeiten

  • Sei  . Die antipodale Abbildung   generiert zusammen mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe   und induziert eine diskontinuierliche Operation  . Hierbei gilt für den Quotientenraum  . Damit ist   eine normale Überlagerung und für   die universelle Überlagerung und damit   für  .
  • Sei   die spezielle orthogonale Gruppe, dann ist die Abbildung   eine normale Überlagerung und weil   ist sie die universelle Überlagerung der  , weshalb gilt:  .
  • Durch die diskontinuierliche Operation   von   auf  , wobei ist   das semidirekte Produkt   ist, erhält man die universelle Überlagerung   der Kleinschen Flasche   und damit  .
  • Sei der Torus   eingebettet in  . Dann erhält man eine durch den Homöomorphismus   induzierte diskontinuierliche Gruppenoperation  , wobei  . Damit folgt, dass die Abbildung   eine normale Überlagerung der Kleinschen Flasche   ist und damit  .
  • Sei   in   eingebettet. Da die Operation   diskontinuierlich ist, wobei   teilerfremd sind, ist die Abbildung   eine normale Überlagerung des Linsenraumes und damit  .

Galois-KorrespondenzBearbeiten

Sei   ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, dann gibt es für jede Untergruppe   eine wegzusammenhängende Überlagerung   mit  .[1]   Zwei solche wegzusammenhängenden Überlagerungen   und   sind genau dann äquivalent, wenn die Untergruppen   und   von   konjugiert zueinander sind.[4]  

Ähnlich wie beim Hauptsatz der Galoistheorie gibt es auch hier einen Zusammenhang zwischen den Untergruppen der Fundamentalgruppe und Überlagerungen des Raumes, u.z.:

Sei   ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, dann gibt es, bis auf Äquivalenz von Überlagerungen, die Bijektion:

 

Für eine aufsteigende Sequenz   von Untergruppen, ist die Sequenz  

eine Sequenz von Überlagerungen. Für eine Untergruppe   vom Index   ist die Überlagerung   eine  -fache Überlagerung.

KlassifikationBearbeiten

DefinitionenBearbeiten

Kategorie von ÜberlagerungenBearbeiten

Sei   ein topologischer Raum. Die Objekte der Kategorie   sind Überlagerungen   und die Morphismen sind stetige Abbildungen  , die das Diagramm

kommutieren lassen, wobei   und   Überlagerungen sind.

G-MengeBearbeiten

Sei   eine topologische Gruppe. Die Kategorie   ist die Kategorie der Mengen welche G-Räume sind, i.e. die Objekte der Kategorie sind G-Räume. Die Morphismen der Kategorie sind G-Abbildung   zwischen G-Räumen. Diese erfüllen, für jedes  , die Bedingung  .

Äquivalenz dieser KategorienBearbeiten

Sei   ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum,   und   die Fundamentalgruppe von  .   definiert durch die Hochhebung von Wegen und der Auswertung der Hochhebung am Endpunkt eine Gruppenoperation auf der Faser von Überlagerungen. Damit erhält man einen Funktor  , der eine Äquivalenz von Kategorien ist.[1]  

LiteraturBearbeiten

  • Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge Univ. Press, Cambridge, ISBN 0-521-79160-X
  • Otto Forster: Lectures on Riemann surfaces. Springer Berlin, München 1991, ISBN 978-3-540-90617-9
  • James Munkres: Topology. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc., ©2000, ISBN 978-0-13-468951-7
  • Wolfgang Kühnel: Matrizen und Lie-Gruppen. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Stuttgart, ISBN 978-3-8348-9905-7
  • Maximiliano Aguilar and Miguel Socolovsky: The Universal Covering Group of U(n) and Projective Representations. Hrsg.: International Journal of Theoretical Physics. Dezember 1999

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c d e f g h i j k l m n o p q Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge Univ. Press, Cambridge, ISBN 0-521-79160-X.
  2. Wolfgang Kühnel: Matrizen und Lie-Gruppen. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Stuttgart, ISBN 978-3-8348-9905-7.
  3. a b c d e f g h i Otto Forster: lectures on riemann surfaces. Springer Berlin, München 1991, ISBN 978-3-540-90617-9.
  4. a b c d e f g James Munkres: Topology. Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc., ©2000, ISBN 978-0-13-468951-7.
  5. Maximiliano Aguilar and Miguel Socolovsky: The Universal Covering Group of U(n) and Projective Representations. Hrsg.: International Journal of Theoretical Physics. Dezember 1999, S. 5, Theorem 1.