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Der Raum ist eine Überlagerung von , die paarweise disjunkten Mengen werden homöomorph auf abgebildet. Die Faser des Punktes besteht aus den Punkten .

Überlagerungen werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie untersucht. Eine Überlagerung eines topologischen Raums besteht aus einem weiteren topologischen Raum, dem Überlagerungsraum, und einer stetigen Abbildung, die aus dem Überlagerungsraum in den Ausgangsraum abbildet und bestimmte Eigenschaften besitzt.

Anschaulich kann man sich eine Überlagerung so vorstellen, dass man den Ausgangsraum auf dem Überlagerungsraum abrollt beziehungsweise den Ausgangsraum mit dem Überlagerungsraum einwickelt.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein topologischer Raum. Eine Überlagerung von   ist ein topologischer Raum   zusammen mit einer stetigen surjektiven Abbildung

 

so dass es zu jedem Punkt   in   eine Umgebung   gibt, für die das Urbild   unter   aus einer Vereinigung paarweise disjunkter offener Mengen   besteht, die jeweils mittels p homöomorph auf   abgebildet werden.

Oft wird der Begriff der Überlagerung sowohl für den Überlagerungsraum   als auch für die Überlagerungsabbildung   benutzt. Für ein   in   heißt   die Faser von  . Sie besteht aus endlich oder unendlich vielen diskreten Punkten. Im ersten Fall spricht man von einer endlichen Überlagerung.

Man sagt, die Elemente der Faser liegen über  . Die offenen Mengen   heißen Blätter.

BeispieleBearbeiten

Betrachte den Einheitskreis   in  . Die reelle Gerade   ist dann eine Überlagerung mit der Überlagerungsabbildung

 .

Die Gerade wird also unendlich oft um den Kreis gewickelt. Die Blätter über einem Intervall des Kreises sind Intervalle auf der Zahlengeraden, die sich mit Periode   wiederholen. Jede Faser hat unendlich viele Elemente ( ). Die Isomorphie zwischen der Fundamentalgruppe   von   und der additiven Gruppe   über den ganzen Zahlen lässt sich mit Hilfe dieser Überlagerung sehr anschaulich beweisen.

Die komplexe Ebene ohne den Ursprung,  , wird von sich selbst überlagert durch die Abbildung

 .

Jede Faser hat hier   Elemente.

Ein Beispiel aus der Quantenmechanik betrifft die Gruppe SO(3) der Drehungen des dreidimensionalen reellen Raumes  . Zu ihr gehört als „zweifache“ Überlagerung die SU(2), also die Gruppe der "komplexen Drehungen" des  , die sogenannte Spinorgruppe. Im Gegensatz zur SO(3) ist sie einfach zusammenhängend.

EigenschaftenBearbeiten

Jede Überlagerung ist ein lokaler Homöomorphismus, das heißt, die Einschränkung der Überlagerungsabbildung   auf eine kleine Umgebung ist ein Homöomorphismus auf eine offene Teilmenge. Daher besitzen   und   die gleichen lokalen Eigenschaften:

  • falls   eine Mannigfaltigkeit ist, so auch jede zusammenhängende Überlagerung von  .
  • falls   eine Riemannsche Fläche ist, so ist dies auch jede Überlagerung von   und   ist dann holomorph.
  • falls   eine Lie-Gruppe ist, so auch jede Überlagerung von  , und   ist dann ein Lie-Gruppen-Homomorphismus.
  • falls   ein CW-Komplex ist, so auch jede Überlagerung von  .

Für jede Zusammenhangskomponente von   ist die Anzahl der Elemente einer Faser über einem Punkt (und damit die Anzahl der Blätter über einer Umgebung) stets gleich. Hat jede Faser   Elemente, so spricht man von einer  -fachen Überlagerung.

Es gilt die Hochhebungseigenschaft: Ist   eine Überlagerung,   ein Weg in   und   ein Punkt über dem Startpunkt   (d. h.  ), dann gibt es einen eindeutigen Weg   in   über   (d. h.  ) mit Anfangspunkt  . Wege in   lassen sich also bei Vorgabe eines Startpunkts aus der Faser eindeutig nach   hochheben.

Sind   und   zwei Punkte in  , die durch einen Weg verbunden sind, so vermittelt der Weg durch die Hochhebungseigenschaft eine bijektive Abbildung zwischen den Fasern über   und  .

Universelle ÜberlagerungBearbeiten

Eine Überlagerung   heißt universelle Überlagerung, falls   einfach zusammenhängend ist.

In der Regel gibt es über einem topologischen Raum   viele verschiedene Überlagerungen. Ist zum Beispiel   Überlagerung von   und   Überlagerung von  , so ist auch   eine Überlagerung von  . Der Name „universelle Überlagerung“ kommt daher, dass sie auch Überlagerung jeder anderen zusammenhängenden Überlagerung von   ist.

Aus der beschriebenen universellen Eigenschaft folgt, dass die universelle Überlagerung bis auf einen Homöomorphismus eindeutig bestimmt ist (zwei universelle Überlagerungen sind nämlich wegen dieser Eigenschaft jeweils die Überlagerung von der anderen, woraus folgt, dass sie homöomorph sein müssen).

Ist   zusammenhängend, lokal wegzusammenhängend und semilokal einfach zusammenhängend, so besitzt   eine universelle Überlagerung. Man kann die universelle Überlagerung konstruieren, indem man einen Punkt   in   fixiert und zu jedem Punkt   in   die Menge der Homotopieklassen von Wegen von   nach   betrachtet. Die Topologie erhält man lokal, da   eine Umgebung hat, deren Schleifen global zusammenziehbar sind und auf der daher die besagten Homotopieklassen überall gleich sein müssen, sodass man das Kreuzprodukt der Umgebung mit der (diskret topologisierten) Menge der Homotopieklassen mit der Produkttopologie versehen kann. Unter den genannten Voraussetzungen ist dieses Konstrukt dann eine universelle Überlagerung.

Die universelle Überlagerung von   wird meist mit   bezeichnet.

Das obige Beispiel   ist eine universelle Überlagerung. Ein anderes Beispiel ist die universelle Überlagerung des projektiven Raumes durch die Sphäre

 

für  .

Die Gruppe der Decktransformationen, reguläre Überlagerungen Bearbeiten

Eine Decktransformation einer Überlagerung   ist ein Homöomorphismus  , der mit der Projektion   verträglich ist, d. h.  . Die Menge aller Decktransformationen der Überlagerung bildet eine Gruppe mit der Verknüpfung der Hintereinanderausführung. Die Decktransformationsgruppe (kurz Deckgruppe) wird mit   bezeichnet.

Aus der Verträglichkeit mit der Projektion folgt, dass jede Decktransformation einen Punkt aus   wieder auf einen Punkt in der gleichen Faser abbildet. Da die Decktransformationen darüber hinaus Homöomorphismen, also bijektiv, sind, werden die Elemente einer Faser permutiert. Dies definiert eine Gruppenoperation der Decktransformationsgruppe auf jeder Faser.

Falls   eine Überlagerungsabbildung und   (und damit auch  ) zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend ist, so ist die Operation von   auf jeder Faser frei. Falls die Operation auch transitiv auf einer Faser ist, so ist sie dies auf allen Fasern. In diesem Fall nennt man die Überlagerung normal, regulär oder auch galoissch. Dies ist genau dann der Fall, wenn die charakteristische Untergruppe ein Normalteiler ist, was den Namen erklärt.

Zum Beispiel ist jede universelle Überlagerung regulär. Ebenso das Beispiel  . Hier bestehen die Decktransformationen aus Multiplikationen mit  -ten Einheitswurzeln, die Gruppe ist also isomorph zur zyklischen Gruppe der Ordnung  .

Die Gruppe der Decktransformationen der universellen Überlagerung ist isomorph zur Fundamentalgruppe des Basisraums; die universelle Überlagerung von   ist ein  -Prinzipalbündel.

KlassifikationBearbeiten

  besitze eine universelle Überlagerung  , und   sei ein Punkt von  . Die beiden folgenden Konstruktionen liefern eine Äquivalenz von Kategorien zwischen der Kategorie der Überlagerungen von   und der Kategorie der Mengen mit  -Operation:

  • Einer Überlagerung   wird die Faser   zugeordnet.
  • Einer Menge   wird das assoziierte Bündel   zugeordnet; es ist ein Faserbündel mit diskreter Faser, also eine Überlagerung.

Zusammenhängenden Überlagerungen entsprechen Mengen mit transitiver  -Operation, und bis auf Isomorphie sind diese durch Untergruppen von   klassifiziert. Einer zusammenhängenden Überlagerung   entspricht dabei die Untergruppe  .

LiteraturBearbeiten

  • Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.

WeblinksBearbeiten