Hochhebungseigenschaft

Die Hochhebungseigenschaft (englisch Lifting property) ist ein Begriff aus der Kategorientheorie. Er bezeichnet eine Eigenschaft zweier Morphismen. Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Modellkategorien. Ein wichtiger Spezialfall der Hochhebungsseigenschaft ist die Homotopie-Hochhebungseigenschaft aus der Topologie.

DefinitionBearbeiten

Zwei Morphismen   und   in einer Kategorie   haben die Hochhebungseigenschaft, notiert  , falls für jeden Morphismus   und   in   mit   ein Morphismus   existiert, genannt Hochhebung (en. Lift), so dass   und  .

Das heißt, für das mittels der durchgezogenen Linien dargestellte kommutative Diagramm existiert ein Morphismus  , so dass folgendes Diagramm kommutiert:

.

Man sagt,   hat die linke Hochhebungseigenschaft und   die rechte Hochhebungseigenschaft.

ErläuterungenBearbeiten

Wenn   eindeutig ist, nennt man   orthogonal zu   und schreibt  .

Seien  , dann hat   die linke Hochhebungseigenschaft und   die rechte Hochhebungseigenschaft, geschrieben  , wenn für alle  ,  gilt  .

Für ein   lassen sich somit die Mengen der zu   links bzw. rechts orthogonalen definieren:

 

BeispieleBearbeiten

  • In der Kategorie der Mengen   ist eine Funktion   genau dann injektiv, wenn sie die rechte Hochhebungseigenschaft bezüglich   hat, und genau dann surjektiv, wenn sie die rechte Hochhebungseigenschaft bezüglich   hat.
  • Sei   ein topologischer Raum und   eine Überlagerung von   mit Überlagerungsabbildung  . Sei   die einelementige Menge und  , dann hat der Morphismus  , der die einelementige Menge auf   abbildet, die linke Hochhebungseigenschaft bezüglich  . Sei   ein Weg und   Morphismus, der die einelementige Menge auf einen beliebigen Punkt   abbildet, dann gibt es genau einen Morphismus  , so dass das obige Diagramm kommutiert.

LiteraturBearbeiten