Finaltopologie

mathematisches Gebiet der Topologie

Als Finaltopologie bezüglich einer Abbildungsfamilie bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der Topologie die feinste Topologie auf einer Menge , die diese Familie von Abbildungen aus anderen topologischen Räumen nach stetig macht. Die Finaltopologie entsteht also durch „Vorwärtsübertragung“ der auf den Urbildräumen vorhandenen topologischen Strukturen auf die Menge . Dies ist die Anwendung eines allgemeineren Konzepts aus der Kategorientheorie auf topologische Räume, mit der wichtige „natürliche Räume“ wie Quotienten- und Summenräume in einen gemeinsamen Rahmen gestellt werden können. Je nach Kontext spricht man dann auch von Quotiententopologie bzw. Summentopologie.

Definition

Bearbeiten

Gegeben ist eine Menge  , eine Familie von topologischen Räumen   und eine Familie von Abbildungen  . Eine Topologie   auf   heißt Finaltopologie bezüglich der Familie   wenn sie eine der folgenden gleichwertigen Eigenschaften hat:

 
Universelle Eigenschaft der Finaltopologie
  1.   ist die feinste Topologie auf  , bezüglich der alle Abbildungen   stetig sind.
  2. Eine Teilmenge   von   ist offen (also in  ) genau dann, wenn alle ihre Urbilder   in den jeweiligen Urbildräumen offen sind.
  3. Eine Funktion   von   in einen topologischen Raum   ist genau dann stetig, wenn   stetig ist für jedes   der Familie.

Bemerkungen

Bearbeiten

Die drei Formulierungen der Definition beleuchten unterschiedliche Aspekte der Finaltopologie:

  1. Hier wird sie als Infimum gewisser Topologien im Verband aller Topologien auf   angesehen: Durch jede einzelne Abbildung   wird aus dem Urbildraum   eine topologische Struktur   auf   übertragen und die Finaltopologie   ist der Durchschnitt all dieser Topologien. Mit dieser Definition lässt sich die Existenz der Finaltopologie beweisen.
  2. Diese Definition ist konstruktiv. Mit ihr kann man für beliebige Teilmengen von   entscheiden, ob sie in der Finaltopologie offen sind. Hieraus ergibt sich leicht die Eindeutigkeit dieser Topologie.
  3. Die abstrakte Charakterisierung rechtfertigt die Bezeichnung „Final“-Topologie und gestattet es, diese Strukturen im allgemeineren Rahmen der Kategorientheorie zu betrachten. Die Initialtopologie kann durch die hierzu duale Eigenschaft charakterisiert werden.

Beispiele

Bearbeiten
  • Die Quotiententopologie ist die Finaltopologie bezüglich der kanonischen Projektion auf den Quotientenraum.
  • Der topologische Summenraum einer Familie   von topologischen Räumen ist die Finaltopologie auf der disjunkten Vereinigungsmenge der Familie bezüglich der kanonischen Inklusionsabbildungen. In diesem Fall nennt man die Finaltopologie auch die Summentopologie.
  • Die Kombination der Summen- und Quotientenraumbildung, also das „Verkleben“ mehrerer topologischer Räume, kann mit der Finaltopologie in einem Schritt vorgenommen werden.

Literatur

Bearbeiten