CAT(0)-Räume sind ein Begriff aus der Geometrie, mit dem Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Krümmung auf allgemeine metrische Räume verallgemeinert werden. Ihre definierende Eigenschaft ist, dass Dreiecke dünner sein sollen als Vergleichsdreiecke in der euklidischen Ebene.

DefinitionBearbeiten

VergleichsdreieckeBearbeiten

 
 

Sei   ein geodätischer metrischer Raum. Ein geodätisches Dreieck   in   ist ein Dreieck mit Ecken  , dessen drei Seiten Geodäten sind. Zu jedem geodätischen Dreieck   gibt es ein (bis auf Kongruenz eindeutiges) Vergleichsdreieck   im   mit

 .

Man hat dann eine Vergleichsabbildung

 ,

die (zum Beispiel) jedem Punkt   auf der Seite   den entsprechenden Punkt   auf der Seite   (d. h. den eindeutigen Punkt mit  ) zuordnet, analog für die beiden anderen Seiten.

CAT(0)-RäumeBearbeiten

Ein geodätischer metrischer Raum   ist ein CAT(0)-Raum, wenn zu jedem geodätischen Dreieck   in   mit Vergleichsabbildung   die Ungleichung

  für alle   gilt.

Anschaulich: Jedes geodätische Dreieck ist mindestens so dünn wie sein Vergleichsdreieck.

BeispieleBearbeiten

EigenschaftenBearbeiten

  • In einem CAT(0)-Raum   lassen sich je zwei Punkte durch eine eindeutige Geodäte verbinden. Die Geodäte hängt stetig von ihren Endpunkten ab.
  • In CAT(0)-Räumen gilt die Ptolemäische Ungleichung
  für alle  .
  • Für Geodäten   ist die Funktion   konvex.
  • CAT(0)-Räume sind zusammenziehbar.

Geodätischer RandBearbeiten

Geodätische Strahlen in einem CAT(0)-Raum heißen asymptotisch, wenn sie endlichen Abstand haben. Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der geodätischen Strahlen. Der Geodätische Rand   des CAT(0)-Raumes   ist die Menge der Äquivalenzklassen von auf Bogenlänge parametrisierten geodätischen Strahlen.

Jeder Punkt in   lässt sich mit jedem Punkt in   durch eine eindeutige Geodäte verbinden. Unterschiedliche Punkte in   müssen sich aber nicht immer durch eine Geodäte verbinden lassen.

Kegel-TopologieBearbeiten

Die Topologie auf   lässt sich zu einer Topologie auf   erweitern[2], so dass gilt: Eine Folge   konvergiert gegen   genau dann, wenn (für beliebiges  ) die Folge der   und   verbindenden Geodäten lokal gleichmäßig gegen die   und   verbindende Geodäte konvergiert.

Diese Topologie wird als Kegel-Topologie bezeichnet.

Beispiel: Wenn   eine einfach zusammenhängende, vollständige n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung ist, dann ist   mit der Kegel-Topologie homöomorph zur (n-1)-dimensionalen Sphäre.

Tits-MetrikBearbeiten

Die Tits-Metrik   ist für   definiert durch

 ,

wobei   zu   asymptotische Geodäten sind.

Hierbei ist (allgemein für  ) der Winkel   definiert als der Winkel bei   des Vergleichsdreiecks   im  .

Die Tits-Metrik induziert im Allgemeinen nicht die Kegel-Topologie auf  .

Beispiele: Falls   eine einfach zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung ist, dann ist   für alle  , die Tits-Metrik induziert also die diskrete Topologie. Falls   der euklidische Raum ist, dann ist   homöomorph zur Sphäre.

HorosphärenBearbeiten

Zu einem Punkt   und einer Geodäte   mit   definiert man die Busemann-Funktion   durch

 .

Falls   vollständig ist und   und   zwei zu   asymptotische Geodäten sind, dann ist   konstant. Insbesondere hängt die Zerlegung von   in die Niveaumengen von   nur von   und nicht von der Wahl der zu   asymptotischen Geodäte   ab. Die Niveaumengen von   werden als Horosphären von   bezeichnet.

IsometrienBearbeiten

Jede Isometrie   eines vollständigen CAT(0)-Raumes   fällt in eine der folgenden 3 Klassen:

  • elliptisch:   hat einen Fixpunkt in  ,
  • hyperbolisch:   hat keinen Fixpunkt in  , lässt aber eine Geodäte invariant,
  • parabolisch:   lässt einen Punkt   und seine Horosphären invariant.[3]

CAT(0)-GruppenBearbeiten

Eine CAT(0)-Gruppe ist eine Gruppe, die eigentlich diskontinuierlich und kokompakt durch Isometrien auf einem endlich-dimensionalen CAT(0)-Raum wirkt.

Lokale CAT(0)-RäumeBearbeiten

Ein vollständiger, zusammenhängender, metrischer Raum heißt lokal CAT(0), wenn jeder Punkt eine Umgebung besitzt, die (mit der eingeschränkten Metrik) ein CAT(0)-Raum ist.

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Cartan-Hadamard besagt: wenn   ein lokaler CAT(0)-Raum ist, dann gibt es auf der universellen Überlagerung   eine eindeutige Metrik   so dass

  • die Überlagerung   eine lokale Isometrie ist, und
  •   ein CAT(0)-Raum ist.

QuellenBearbeiten

  1. Adiprasito-Funar: Hyperbolicity of contractible manifolds
  2. Bridson-Haefliger: Metric spaces of nonpositive curvature. (PDF-Datei; 3,83 MB), Definition II.8.5
  3. Fujiwara: "CAT(0) spaces for Riemannian geometers" (PDF-Datei; 116 kB)