Zusammenziehbarer Raum

Zusammenziehbare Räume – auch als kontrahierbare bzw. kontraktible Räume bezeichnet – werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Aus Sicht der Homotopietheorie gelten zusammenziehbare Räume als trivial. Viele in der Algebraischen Topologie definierte Invarianten verschwinden für zusammenziehbare Räume.

DefinitionBearbeiten

Ein topologischer Raum   heißt zusammenziehbar oder kontrahierbar oder kontraktibel, wenn er homotopieäquivalent zu einem einpunktigen Unterraum ist, das heißt, wenn es eine stetige Abbildung

 

und einen festen Punkt   gibt, sodass

  •   für alle   und
  •   für alle  

gilt.[1]

BeispielBearbeiten

  • Der euklidische Raum   ist zusammenziehbar: Setze
      für   und  .
    Man beachte, dass der Raum nicht im anschaulichen Sinne „stetig zu einem Punkt deformiert wird“: Das Bild der Abbildung
     
    ist für   stets der gesamte Raum, erst für   ist das Bild nur noch der Ursprung.
  • Allgemeiner sind sternförmige Mengen zusammenziehbar.

Schwach zusammenziehbare RäumeBearbeiten

Ein topologischer Raum   heißt schwach kontrahierbar oder schwach zusammenziehbar, wenn für alle   die Homotopiegruppen   trivial sind, d. h.

  und   für alle  .

Wenn ein Raum   zusammenziehbar ist, dann ist er auch schwach zusammenziehbar.

Für CW-Komplexe gilt auch die Umkehrung: Aus   und   für alle   folgt, dass der CW-Komplex   zusammenziehbar ist. Für beliebige topologische Räume gilt die Umkehrung i. A. nicht.

Weitere ResultateBearbeiten

Es liegen die folgenden Resultate vor:

GegenbeispieleBearbeiten

  • Die Einheitssphäre   (oder allgemeiner: eine entsprechende Sphäre mit festem Radius) ist nicht zusammenziehbar, obwohl sie für   einfach zusammenhängend ist.
  • Der Raum, den man als Vereinigung von
 
mit einem (0,-1) und (1,sin(1)) verbindenden Kreisbogen erhält, ist nicht zusammenziehbar, obwohl alle seine Homotopiegruppen trivial sind.
Dies zeigt, dass der Satz von Whitehead für topologische Räume, die kein CW-Komplex sind, im Allgemeinen nicht gelten muss.

LiteraturBearbeiten

  • Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X, S. 110 ff. (MR2172813).
  • Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, S. 156 ff. (MR0423277).
  • Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA (u. a.) 1970, S. 224 ff. (MR0264581).

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1st corrected Springer edition, Reprint. Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0, S. 25.
  2. Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 224
  3. Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 112
  4. a b Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 226
  5. a b Thorsten Camps et al., op. cit., S. 111
  6. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 162