Hadamard-Raum

Ein Hadamard-Raum ist ein mathematisches Objekt aus der Geometrie metrischer Räume. Benannt ist er nach dem Mathematiker Jacques Hadamard.

DefinitionBearbeiten

Ein Hadamard-Raum ist ein vollständiger CAT(0)-Raum.

Äquivalente DefinitionenBearbeiten

Sei   ein vollständiger metrischer Raum.

Nach Definition ist   genau dann ein Hadamard-Raum, wenn er ein CAT(0)-Raum ist, das heißt, wenn er ein geodätischer metrischer Raum ist und alle geodätischen Dreiecke mindestens so dünn wie ihre Vergleichsdreiecke in der euklidischen Ebene sind. Letztere Bedingung lässt sich umformulieren in die Bedingung

 

für alle  , wobei   den Mittelpunkt der Geodäte zwischen   und   bezeichnet.

Auf Bruhat-Tits geht folgende äquivalente Definition zurück:

Ein vollständiger metrischer Raum   ist genau dann ein Hadamard-Raum, wenn es zu jedem Paar von Punkten   einen „Mittelpunkt“   gibt, so dass
 

für alle   gilt.

BeispieleBearbeiten

EigenschaftenBearbeiten

Für Hadamard-Räume gilt eine Verallgemeinerung des Satzes von Cartan-Hadamard. Zu beliebigen   gibt es eine eindeutige Geodäte   mit  . Die Geodäte   hängt stetig von   und   ab.

Weiterhin gelten für Hadamard-Räume alle Eigenschaften von CAT(0)-Räumen.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten