Bruhat-Tits-Gebäude

nicht-archimedische Variante symmetrischer Räume

In der Mathematik sind Bruhat-Tits-Gebäude eine nicht-archimedische Variante symmetrischer Räume. Sie sind nach François Bruhat und Jacques Tits benannt.

Bruhat-Tits-Baum für

Bruhat-Tits-Gebäude für SL(n,K)

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Sei   ein Körper und   eine diskrete Bewertung. Der Bewertungsring   ist definiert durch  .

Das Bruhat-Tits-Gebäude für die spezielle lineare Gruppe   ist ein (n-1)-dimensionaler Simplizialkomplex.

Ecken: Seine Ecken (0-Simplizes) sind die Homothetieklassen von Gittern in  . (Ein Gitter ist ein  -Modul vom Rang  , zwei Gitter   gehören zur selben Homothetieklasse wenn   für ein  .)

Simplizes:   Ecken   bilden genau dann einen  -dimensionalen Simplex, wenn sie durch Gitter   mit

 

mit einem irreduziblen Element   repräsentiert werden.

Insbesondere ist das Bruhat-Tits-Gebäude von   ein unendlicher Baum, dessen Knoten die Valenz   haben, wobei   der zu   assoziierte Restklassenkörper ist. Man spricht in diesem Fall von einem Bruhat-Tits-Baum.

Allgemein kann ein Bruhat-Tits-Gebäude für jede reduktive Gruppe   über einem lokalen Körper   definiert werden.[1]

Eigenschaften

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Das Bruhat-Tits-Gebäude ist ein euklidisches Gebäude und insbesondere ein CAT(0)-Raum. Der Link jeder Ecke ist ein sphärisches Tits-Gebäude und insbesondere ein CAT(1)-Raum.

Die Gruppe   wirkt eigentlich diskontinuierlich durch simpliziale Automorphismen auf ihrem Bruhat-Tits-Gebäude.

Das Bruhat-Tits-Gebäude ist kontrahierbar, endlich-dimensional und lokal endlich, letzteres heißt, dass jeder Simplex nur zu endlich vielen Simplizes adjazent ist.

Literatur

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  • Jean-Pierre Serre: Trees (= Springer Monographs in Mathematics.). Translated from the French original by John Stillwell. Corrected 2nd printing of the 1980 English translation. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44237-5.
  • Ian G. MacDonald: Spherical functions on a group of p-adic type (= Publications of the Ramanujan Institute. 2, ISSN 0304-9965). University of Madras – Ramanujan Institute, Madras 1971.
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Einzelnachweise

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  1. Abschnitt 3.2 in Remy-Thuillier-Werner, op. cit.