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Als G-Raum bezeichnet man in der Geometrie einen mit einer stetigen Gruppenwirkung versehenen topologischen Raum. Stetige Gruppenwirkungen und die in diesem Zusammenhang definierten allgemeinen Begriffe kommen in vielen mathematischen Problemstellungen auf natürliche Weise vor.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein topologischer Raum,   eine (topologische oder diskrete) Gruppe und

 
 

eine stetige Wirkung von   auf  , das heißt eine stetige Abbildung mit

 

für alle   sowie

 

für das neutrale Element   und alle  , dann wird   G-Raum genannt.[1]

Weitere BegriffeBearbeiten

Im Folgenden sei   ein G-Raum,   trage die Produkttopologie und der Bahnenraum   die Quotiententopologie.

Transitive WirkungBearbeiten

Eine Wirkung   heißt transitiv, wenn es zu jedem Paar   ein   mit   gibt.

Wenn   transitiv auf   wirkt, dann ist   homöomorph zu   mit der Quotiententopologie, wobei   der Stabilisator eines (beliebigen) Elementes   ist.

Freie WirkungBearbeiten

Eine Wirkung   heißt frei, wenn aus   (mit   und  ) stets   folgt.

Eine Wirkung ist frei genau dann, wenn für alle   der Stabilisator   nur aus dem neutralen Element besteht.

Effektive WirkungBearbeiten

Eine Wirkung heißt effektiv (oder treu), wenn es zu jedem   ein   mit   gibt.

Eine Wirkung ist also genau dann effektiv, wenn der entsprechende Homomorphismus von   in die Gruppe der Homöomorphismen von   ein Monomorphismus ist.

FixpunkteBearbeiten

Die Fixpunkte eines Elementes   sind die Elemente   mit  .

Ein Punkt   heißt globaler Fixpunkt der Gruppenwirkung, wenn   für alle   gilt.

Eigentliche WirkungBearbeiten

Eine Wirkung   heißt eigentlich, wenn die durch

 

gegebene Abbildung   eine eigentliche Abbildung ist.

Wenn die Wirkung von   auf   eigentlich ist, dann ist   Hausdorffsch und alle Orbiten   sind abgeschlossen. Der Stabilisator jedes Punktes ist kompakt und die Abbildung   ist ein Homöomorphismus.[2]

Eigentlich diskontinuierliche Wirkung, DiskontinuitätsbereichBearbeiten

Eine Wirkung   heißt eigentlich diskontinuierlich, wenn es zu jedem   eine Umgebung   gibt, für die

 .

Eine freie Wirkung ist eigentlich diskontinuierlich genau dann, wenn die Projektion   eine Überlagerung ist.

Eine  -invariante, offene Teilmenge   heißt Diskontinuitätsbereich, wenn die Wirkung von   auf   eigentlich diskontinuierlich. Im Allgemeinen muss ein maximaler Diskontinuitätsbereich nicht eindeutig bestimmt sein.

Im Fall einer Kleinschen Gruppe und ihrer Wirkung auf der Sphäre im Unendlichen gibt es einen eindeutigen maximalen Diskontinuitätsbereich, dieser ist das Komplement der Limesmenge und wird häufig auch als der Diskontinuitätsbereich der Kleinschen Gruppe bezeichnet. (Dies gilt allgemeiner auch für diskrete Gruppen von Isometrien von Hadamard-Mannigfaltigkeiten und ihre Wirkung auf der Sphäre im Unendlichen.)

Kokompakte WirkungBearbeiten

Eine Wirkung   heißt kokompakt, wenn der Orbitraum   kompakt ist.

Eine Wirkung ist kokompakt, wenn es einen kompakten Fundamentalbereich gibt.

Geometrische WirkungBearbeiten

Eine Wirkung heißt geometrisch (engl.: geometric action), wenn sie eigentlich diskontinuierlich und kokompakt ist.

QuellenBearbeiten

  1. Tammo tom Dieck: Algebraic Topology. European Mathematical Society Publishing House, Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-048-7, S. 17.
  2. Properly discontinuous actions