Eigentliche Abbildung

Eine eigentliche Abbildung ist eine stetige Abbildung, die in der mengentheoretischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, untersucht wird.

DefinitionenBearbeiten

Die Definition eigentlicher Abbildungen variiert von Autor zu Autor. Hier werden deshalb zwei gebräuchliche Definitionen vorgestellt.

Eine weitere und allgemeinere Definition ist:

  • Eine stetige Abbildung   zwischen zwei topologischen Räumen heißt eigentlich, genau dann wenn für jeden beliebigen topologischen Raum Z die Abbildung   abgeschlossen ist.

Die zweite Definition ist äquivalent zur ersten, wenn   ein Hausdorff-Raum und   ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist.

BeispieleBearbeiten

EigenschaftenBearbeiten

  • Eine eigentliche Abbildung ist abgeschlossen, das heißt, das Bild jeder abgeschlossenen Menge ist abgeschlossen.
  • Die Einschränkung   eigentlicher Abbildung   auf einen abgeschlossen Unterraum   ist immer eigentlich.
  • Die Komposition eigentlicher Abbildungen ist wieder eigentlich. Topologische Räume zusammen mit den eigentlichen Abbildungen bilden also eine Unterkategorie der Kategorie der stetigen Funktionen.
  • Sind   topologische Räume und sind   eigentliche Abbildungen, so ist   wieder eine eigentliche Abbildung.
  • Ist   eine eigentliche Abbildung zwischen topologischen Räumen und ist   kompakt, so ist   kompakt in  .
  • Ist   ein kompakter Raum und   ein beliebiger topologischer Raum und   das topologische Produkt, dann ist die Projektion   eine eigentliche Abbildung.

AnwendungenBearbeiten

Eigentliche Abbildungen liefern ein Kriterium für die Kompaktheit eines topologischen Raumes: Sei   ein einelementiger topologischer Raum mit der einzigen existierenden Topologie. Dann gilt: Ein topologischer Raum   ist dann und nur dann kompakt, wenn die konstante Abbildung   eigentlich ist. Hieraus folgen die letzten beiden genannten Eigenschaften.

LiteraturBearbeiten

  • Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2040-4.
  • Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Bd. 15). Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X.
  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.