Zellkomplex

mathematisches Objekt der algebraischen Topologie

Ein Zellkomplex oder CW-Komplex ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der algebraischen Topologie. Es ist eine Verallgemeinerung des Simplizialkomplexes und wurde 1949 von John Henry Constantine Whitehead eingeführt.[1]

DefinitionBearbeiten

Eine  -Zelle ist ein topologischer Raum, der zu   homöomorph ist. Eine offene  -Zelle ist ein topologischer Raum, der zum Inneren von   homöomorph ist.   nennt man die Dimension der Zelle.

Ein Zellkomplex oder auch CW-Komplex (closure-finite weak-topology) ist ein Hausdorff-Raum  , der in offene Zellen   zerfällt, wobei gilt:

  1. zu jeder  -Zelle   existiert eine stetige Abbildung   so dass das Innere von   homöomorph auf   und der Rand in eine Vereinigung von endlich vielen Zellen der Dimension   abgebildet wird. (  heißt die charakteristische Abbildung der Zelle  .)
  2.   ist genau dann abgeschlossen, wenn   für alle   abgeschlossen ist.

Das  -Gerüst eines CW-Komplexes ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimensionen  .

Ein endlicher CW-Komplex ist ein CW-Komplex aus endlich vielen Zellen.

EigenschaftenBearbeiten

Jeder CW-Komplex ist normal, erfüllt aber nicht unbedingt das erste Abzählbarkeitsaxiom, ist also nicht unbedingt metrisierbar. Jeder CW-Komplex ist lokal zusammenziehbar.

In zusammenhängenden CW-Komplexen gilt der Satz von Whitehead über die Homotopieäquivalenz.

Ein CW-Komplex ist der Kolimes seiner endlichen Unterkomplexe.

BeispieleBearbeiten

  • Jeder Simplizialkomplex ist ein CW-Komplex.
  •   ist ein CW-Komplex. Betrachte die Zellen   und die charakteristischen Abbildungen  .

Zelluläre AbbildungenBearbeiten

Das  -Gerüst   eines CW-Komplexes   ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimension  .

Eine CW-Abbildung (oder zelluläre Abbildung) ist eine stetige Abbildung  , die jede  -Zelle von   in das  -Gerüst von   abbildet. (Dabei müssen  -Zellen nicht notwendig auf  -Zellen abgebildet werden.)

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. J. H. C. Whitehead: Combinatorial homotopy, Bull. Amer. Math. Soc., Band 55, 1949, 213–245 (Teil 1), S. 453–496 (Teil 2)